Variables aléatoires discrètes finies - ST2S/STD2A

Loi binomiale

Exercice 1 : Arbre de probabilités - Dénombrement (2)

Pendant une émission télévisée, le présentateur invite une personne à jouer à pile ou face. Elle parie qu'en 3 lancers, aucun ne tombera sur pile. Cependant, la pièce a une probabilité \(p = 0,5\) de tomber sur pile. Les lancers sont indépendants les uns des autres. On décide donc de modéliser cette épreuve par une loi binomiale, de paramètres \(n = 3\) et \(p = 0,5\).Dessiner l'arbre de probabilités représentant cette loi. On notera \(S\) le succès, c'est-à-dire tomber sur pile, et \(E\) l'échec, c'est-à-dire tomber sur face d'une épreuve de Bernoulli de paramètre \(n\).

En déduire la probabilité de gagner le pari.

Exercice 2 : Arbre de probabilités, Tableau et espérance (exercice long)

On s’intéresse à la population masculine de la Palestine. Nous savons qu'en 2010 il y avait \(2\:050\:014\) hommes et \(1\:989\:178\) femmes.
On sélectionne au hasard \(3\) personnes de ce pays, avec remise et de manière indépendante.
À chaque tirage, on regarde si la personne est un homme ou une femme.

On peut modéliser cette expérience aléatoire par \(n\) épreuves indépendantes de Bernoulli de paramètre \(p\), avec \(S\) le succès, c'est-à-dire que la personne tirée soit un homme, et \(E\) l'échec, c'est-à-dire que la personne tirée ne soit pas un homme.

Calculer le paramètre \(p\) de la loi, la probabilité \(p(S)\) de succès de l'événement \(S\) « la personne tirée est un homme »
On arrondira les résultats à \(10^{-3}\).

On décide donc de modéliser cette épreuve par une loi binomiale, de paramètres \(n = 3\) et \(p\). Dessiner l'arbre de probabilités représentant cette loi.
On arrondira les résultats à \(10^{-3}\).

Compléter le tableau de la loi de probabilité correspondante au nombre de fois où un homme a été tiré.
On réutilisera les valeurs approchées trouvées aux questions précédentes et on arrondira les résultats à \(10^{-3}\).

En déduire l'espérance de cette loi.
On réutilisera les valeurs approchées trouvées aux questions précédentes et on arrondira les résultats à \(10^{-3}\).

Exercice 3 : Loi binomiale - Trouver les paramètres en lecture d'énoncé (difficile)

Un joueur de fléchettes fait le compte de ses résultats. Il a remarqué qu'en moyenne, sur 95 lancers, 56 d'entre eux lui rapportent plus de 14 points. Les championnats régionaux approchent et il aimerait quantifier ses chances de faire des lancers qui rapportent plus de 14 points. La partie se joue en 135 lancers consécutifs. Il décide de modéliser la situation par une loi binomiale et souhaite calculer la probabilité de marquer exactement 25 fois plus de 14 points.

Que vaut le paramètre \(n\) de la loi binomiale ainsi modélisée ?

De même, que vaut son paramètre \(p\) ?

Exercice 4 : Loi binomiale - Espérance uniquement

Soit B une loi binomiale de paramètres \(p = \dfrac{1}{2} \) et \(n = 6 \).

Quelle est l'espérance de B ?

Exercice 5 : Proba de loi binomiale P(X ≤ 3)

Soit X une variable aléatoire suivant une loi binomiale de paramètres \(n = 7\) et \(p = \dfrac{2}{3}\).
Calculer \(P\left(X \le 4\right)\)
On donnera la réponse arrondie à \(10^{-4}\) près.

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