Vecteurs, droites et plans de l’espace - Spécialité
Position relative
Exercice 1 : Déterminer la position relative de deux droites (paramétrique)
Soit trois couples de deux droites, couple 1 : \( D_{1} \) et \( D_{1}' \), couple 2 : \( D_{2} \) et \( D_{2}' \) et
couple 3 : \( D_{3} \) et \( D_{3}' \) définies par :
\[ D_{1}:
\left\{
\begin{array}{c @{=} c}
x & = & -5 -10t_1 \\
y & = & 21 + 10t_1 \\
z & = & 14 -2t_1
\end{array}
\right.\quad, t_1 \in \mathbb{R} \]
\[ D_{1}':
\left\{
\begin{array}{c @{=} c}
x & = & -32 + 5t_2 \\
y & = & -7 -5t_2 \\
z & = & -43 + t_2
\end{array}
\right.\quad, t_2 \in \mathbb{R}
\]
\[ D_{2}:
\left\{
\begin{array}{c @{=} c}
x & = & -57 -10t_1 \\
y & = & 45 -2t_1 \\
z & = & 8 -6t_1
\end{array}
\right.\quad, t_1 \in \mathbb{R} \]
\[ D_{2}':
\left\{
\begin{array}{c @{=} c}
x & = & -47 + 5t_2 \\
y & = & 47 + t_2 \\
z & = & 14 + 3t_2
\end{array}
\right.\quad, t_2 \in \mathbb{R}
\]
\[ D_{3}:
\left\{
\begin{array}{c @{=} c}
x & = & 1 + 5t_1 \\
y & = & -53 - t_1 \\
z & = & 9 -2t_1
\end{array}
\right.\quad, t_1 \in \mathbb{R} \]
\[ D_{3}':
\left\{
\begin{array}{c @{=} c}
x & = & -28 -2t_2 \\
y & = & -60 + 2t_2 \\
z & = & -5 + 4t_2
\end{array}
\right.\quad, t_2 \in \mathbb{R}
\]
Parmi les couples ci-dessus lequel correspond à un couple de droites superposées ?
On donnera en réponse uniquement le numéro du couple
Parmi les couples ci-dessus lequel correspond à un couple de droites superposées ?
On donnera en réponse uniquement le numéro du couple
Parmi les couples ci-dessus lequel correspond à un couple de droites strictement parallèles ?
On donnera en réponse uniquement le numéro du couple
On donnera en réponse uniquement le numéro du couple
Quelles sont les coordonnées du point d'intersection du couple de droites sécantes parmi les
couples ci-dessus ?
Exercice 2 : Donner le point d'intersection de deux droites à partir des équations paramétriques
Soit deux droites \(D\) et \(D'\) définies par :
\[ D:
\left\{
\begin{array}{c @{=} c}
x & = & -71 -4t_1 \\
y & = & 1 -5t_1 \\
z & = & -8 + 2t_1
\end{array}
\right.\quad, t_1 \in \mathbb{R} \]
\[ D':
\left\{
\begin{array}{c @{=} c}
x & = & -67 -4t_2 \\
y & = & 21 -2t_2 \\
z & = & -40 -4t_2
\end{array}
\right.\quad, t_2 \in \mathbb{R}
\]
Donner les coordonnées du point \(M\) d'intersection des deux droites sous la forme\((x_M ; y_M ; z_M)\).
Exercice 3 : Position relative de deux droites dans l'espace
On considère un pavé droit \( (LBHNFKID) \).
Les points \( M , G \text{ et } C \)
sont les milieux respectifs des segments \( [LF] , [ID] \text{ et } [NL] \).
Parmi les propositions suivantes, trouver celles qui sont vraies.
- A.Les droites \( (HK) \text{ et } (HI) \) sont parallèles confondues
- B.Les droites \( (HN) \text{ et } (MG) \) sont sécantes en un point
- C.Les droites \( (FC) \text{ et } (DG) \) sont sécantes en un point
- D.Les droites \( (HK) \text{ et } (NK) \) sont non coplanaires
- E.Les droites \( (HM) \text{ et } (FK) \) sont non coplanaires
Exercice 4 : Position relative d'une droite vis a vis d'un plan dans l'espace
On considère un pavé droit \((ABCDEFGH)\). Les points \(I\), \(J\) et \(K\)
sont les milieux respectifs des segments \([FG]\), \([HE]\) et \([AE]\).
Parmi les propositions suivantes, trouvez celles qui sont vraies.
- A.La droite (CK) est strictement parallèle au plan (ADG)
- B.La droite (DH) est incluse dans le plan (ADI)
- C.La droite (JK) est incluse dans le plan (EHK)
- D.La droite (BI) est incluse dans le plan (BFG)
- E.La droite (FJ) est sécante au plan (DGI)
Exercice 5 : Donner le point d'intersection de deux droites définies chacune par deux points
Soit deux droites \(D\) passant par \(A \left(181;-145;-134\right)\) et \(B \left(191;-151;-138\right)\) et \(D'\) passant par \(C \left(-3;223;96\right)\) et \(D \left(-4;218;93\right)\).
Donner les coordonnées du point \(M\) d'intersection des deux droites sous la forme\((x_M ; y_M ; z_M)\).
Donner les coordonnées du point \(M\) d'intersection des deux droites sous la forme\((x_M ; y_M ; z_M)\).