Représentation paramétrique et équations cartésiennes - Spécialité

Dans un repère orthonormé \( (O; \overrightarrow{i}, \overrightarrow{j}, \overrightarrow{k}) \), on considère les vecteurs \( \overrightarrow{u} \left(\dfrac{3}{4};3;- \dfrac{1}{2}\right) \) et \( \overrightarrow{v} \left(7;- \dfrac{7}{3};- \dfrac{7}{2}\right) \).

Calculer le produit scalaire \( \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} \).

Les vecteurs \( \overrightarrow{u} \) et \( \overrightarrow{v} \) sont-ils orthogonaux ?

Soit un repère orthonormé \(\left(O; \vec{i}, \vec{j}, \vec{k}\right)\).
Soit le plan \(P\) défini par le point \(A\left(-2;-1;-6\right)\) et le vecteur normal \(\vec{n}\left(-6;-6;4\right)\).

Donner une équation cartésienne de \(P\).

Soit \( \mathscr{P} \) un plan dont une équation cartésienne est : \[ -4x -12y + 4z + 33 = 0 \]
Lequel de ces vecteurs est un vecteur normal de \( \mathscr{P} \) ?

Dans un repère orthonormé \( (O; \overrightarrow{i}, \overrightarrow{j}, \overrightarrow{k}) \), on considère les vecteurs \( \overrightarrow{u} \left(- \dfrac{1}{5};\dfrac{3}{2};- \dfrac{4}{3}\right) \) et \( \overrightarrow{v} \left(0;- \dfrac{2}{5};\dfrac{6}{5}\right) \).

Calculer le produit scalaire \( \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} \).

Les vecteurs \( \overrightarrow{u} \) et \( \overrightarrow{v} \) sont-ils orthogonaux ?

Soit un repère orthonormé \(\left(O; \vec{i}, \vec{j}, \vec{k}\right)\).
Soit le plan \(P\) défini par le point \(A\left(-6;4;4\right)\) et le vecteur normal \(\vec{n}\left(4;-7;-6\right)\).

Donner une équation cartésienne de \(P\).