Représentation paramétrique et équations cartésiennes - Spécialité
Appartenance d’un point à une droite
Exercice 1 : Parmi les triplets de points suivants, lesquels sont des points alignés ?
Parmi les proposition suivantes, lesquelles sont vraies ?
- A. \( M\left(16;-4;12\right) \) appartient à la droite \( \left(d\right) \) d'équation paramétrique : \[ \left(d\right) \left \{ \begin{array}{c @{=} c} x & = & 5 -11t \\ y & = & 1 + 5t \\ z & = & 4 -8t \\ \end{array} \right. , t\in\mathbb{R} \]
- B. \( M\left(-8;6;-20\right) \) appartient à la droite \( \left(d\right) \) d'équation paramétrique : \[ \left(d\right) \left \{ \begin{array}{c @{=} c} x & = & -2 -2t \\ y & = & -3 + 4t \\ z & = & 7 -9t \\ \end{array} \right. , t\in\mathbb{R} \]
- C. \( M\left(63;33;35\right) \) appartient à la droite \( \left(d\right) \) d'équation paramétrique : \[ \left(d\right) \left \{ \begin{array}{c @{=} c} x & = & 7 -14t \\ y & = & 1 -8t \\ z & = & 2 -8t \\ \end{array} \right. , t\in\mathbb{R} \]
- D. \( M\left(3;-2;-4\right) \) appartient à la droite \( \left(d\right) \) d'équation paramétrique : \[ \left(d\right) \left \{ \begin{array}{c @{=} c} x & = & -7 + 10t \\ y & = & 7 -9t \\ z & = & -2 -2t \\ \end{array} \right. , t\in\mathbb{R} \]
Exercice 2 : Point appartenant à une droite paramétrique
Soit un repère orthonormé \(\left(O; \vec{i}, \vec{j}, \vec{k}\right)\) et la droite \( (d) \) qui a pour équation paramétrique :
\[ \left \{ \begin{array}{c @{=} c} x & = & x_0 -4t \\ y & = & 1 + 0t \\ z & = & -5 + 3t \\ \end{array} \right. , \text{ }t\in\mathbb{R} \] A combien doit être égal \(x_0\) pour que le point \(M \left(-5;1;4\right)\) appartienne à \((d)\) ?
\[ \left \{ \begin{array}{c @{=} c} x & = & x_0 -4t \\ y & = & 1 + 0t \\ z & = & -5 + 3t \\ \end{array} \right. , \text{ }t\in\mathbb{R} \] A combien doit être égal \(x_0\) pour que le point \(M \left(-5;1;4\right)\) appartienne à \((d)\) ?
Exercice 3 : Parmi les triplets de points suivants, lesquels sont des points alignés ?
Parmi les proposition suivantes, lesquelles sont vraies ?
- A. \( M\left(23;30;34\right) \) appartient à la droite \( \left(d\right) \) d'équation paramétrique : \[ \left(d\right) \left \{ \begin{array}{c @{=} c} x & = & 7 -4t \\ y & = & 2 -7t \\ z & = & 6 -7t \\ \end{array} \right. , t\in\mathbb{R} \]
- B. \( M\left(0;11;1\right) \) appartient à la droite \( \left(d\right) \) d'équation paramétrique : \[ \left(d\right) \left \{ \begin{array}{c @{=} c} x & = & 4 - t \\ y & = & 3 + 2t \\ z & = & -7 + 2t \\ \end{array} \right. , t\in\mathbb{R} \]
- C. \( M\left(1;-4;-12\right) \) appartient à la droite \( \left(d\right) \) d'équation paramétrique : \[ \left(d\right) \left \{ \begin{array}{c @{=} c} x & = & 5 -2t \\ y & = & -1 - t \\ z & = & 6 -9t \\ \end{array} \right. , t\in\mathbb{R} \]
- D. \( M\left(-6;6;2\right) \) appartient à la droite \( \left(d\right) \) d'équation paramétrique : \[ \left(d\right) \left \{ \begin{array}{c @{=} c} x & = & 7 -13t \\ y & = & -4 + 10t \\ z & = & 1 + 1t \\ \end{array} \right. , t\in\mathbb{R} \]
Exercice 4 : Point appartenant à une droite paramétrique
Soit un repère orthonormé \(\left(O; \vec{i}, \vec{j}, \vec{k}\right)\) et la droite \( (d) \) qui a pour équation paramétrique :
\[ \left \{ \begin{array}{c @{=} c} x & = & x_0 + 8t \\ y & = & 1 -2t \\ z & = & -5 + 9t \\ \end{array} \right. , \text{ }t\in\mathbb{R} \] A combien doit être égal \(x_0\) pour que le point \(M \left(-12;3;-14\right)\) appartienne à \((d)\) ?
\[ \left \{ \begin{array}{c @{=} c} x & = & x_0 + 8t \\ y & = & 1 -2t \\ z & = & -5 + 9t \\ \end{array} \right. , \text{ }t\in\mathbb{R} \] A combien doit être égal \(x_0\) pour que le point \(M \left(-12;3;-14\right)\) appartienne à \((d)\) ?
Exercice 5 : Parmi les triplets de points suivants, lesquels sont des points alignés ?
Parmi les proposition suivantes, lesquelles sont vraies ?
- A. \( M\left(-8;12;12\right) \) appartient à la droite \( \left(d\right) \) d'équation paramétrique : \[ \left(d\right) \left \{ \begin{array}{c @{=} c} x & = & -4 -2t \\ y & = & -6 + 9t \\ z & = & -6 + 9t \\ \end{array} \right. , t\in\mathbb{R} \]
- B. \( M\left(6;-4;1\right) \) appartient à la droite \( \left(d\right) \) d'équation paramétrique : \[ \left(d\right) \left \{ \begin{array}{c @{=} c} x & = & -4 + 10t \\ y & = & 6 -10t \\ z & = & 1 + 1t \\ \end{array} \right. , t\in\mathbb{R} \]
- C. \( M\left(-10;-17;-17\right) \) appartient à la droite \( \left(d\right) \) d'équation paramétrique : \[ \left(d\right) \left \{ \begin{array}{c @{=} c} x & = & -4 -2t \\ y & = & 7 -8t \\ z & = & -2 -5t \\ \end{array} \right. , t\in\mathbb{R} \]
- D. \( M\left(36;19;-15\right) \) appartient à la droite \( \left(d\right) \) d'équation paramétrique : \[ \left(d\right) \left \{ \begin{array}{c @{=} c} x & = & 4 -8t \\ y & = & 7 -3t \\ z & = & -7 + 2t \\ \end{array} \right. , t\in\mathbb{R} \]