Probabilités : Loi binomiale - Spécialité
Loi binomiale : Avec un arbre
Exercice 1 : Loi binomiale - construction d'arbre
Soit X une variable aléatoire suivant une loi binomiale de paramètres \(n = 3\) et \(p = 0,9\).
Dessiner l'arbre de probabilités représentant cette loi, on notera \(S\) le succès et \(E\) l'échec d'une épreuve de Bernoulli de paramètre \(n\).
Dessiner l'arbre de probabilités représentant cette loi, on notera \(S\) le succès et \(E\) l'échec d'une épreuve de Bernoulli de paramètre \(n\).
Exercice 2 : Loi binomiale - construction d'arbre et coefficient binomial
Un professeur décide de noter le retard de chacun de ses élèves. Une semaine plus tard, il a
établi qu'un jour donné, un élève a pour probabilité \(p = 0,1\) d'arriver en retard. Le professeur
choisit un élève au hasard et regarde s'il arrive en retard pendant les 3 prochains jours à venir. On
peut modéliser cette expérience aléatoire par \(n\) épreuves indépendantes de Bernoulli de paramètre \(p\), avec
\(S\) le succès, c'est-à-dire que l'élève arrive en retard, et \(E\) l'échec, c'est-à-dire que l'élève
arrive à l'heure.
On peut donc affirmer que le nombre de succès suit une loi binomiale de paramètres \( n = 3 \) et \( p = 0,1 \).Dessiner l'arbre de probabilité représentant cette loi.
En comptant les branches de l'arbre, en déduire le coefficient binomial \( \binom{3}{2} \).
Exercice 3 : Arbre de probabilités, Tableau et espérance (exercice long)
On s’intéresse à la population féminine de la Chine. Nous savons qu'en 2010 il y avait \(696\:340\:752\)
hommes et \(644\:994\:400\) femmes.
On sélectionne au hasard \(3\) personnes de ce pays, avec remise et de manière indépendante.
À chaque tirage, on regarde si la personne est un homme ou une femme.
On peut modéliser cette expérience aléatoire par \(n\) épreuves indépendantes de Bernoulli de paramètre
\(p\), avec \(S\) le succès, c'est-à-dire que la personne tirée soit une femme, et \(E\) l'échec, c'est-à-dire
que la personne tirée ne soit pas une femme.
Calculer le paramètre \(p\) de la loi, la probabilité \(p(S)\) de succès de l'événement \(S\) « la personne
tirée est une femme »
On arrondira les résultats à \(10^{-3}\).
On arrondira les résultats à \(10^{-3}\).
On décide donc de modéliser cette épreuve par une loi binomiale, de paramètres \(n = 3\) et \(p\).
Dessiner l'arbre de probabilités représentant cette loi.
On arrondira les résultats à \(10^{-3}\).
On arrondira les résultats à \(10^{-3}\).
Compléter le tableau de la loi de probabilité correspondante au nombre de fois où une femme a été tiré.
On réutilisera les valeurs approchées trouvées aux questions précédentes et on arrondira les résultats à \(10^{-3}\).
On réutilisera les valeurs approchées trouvées aux questions précédentes et on arrondira les résultats à \(10^{-3}\).
En déduire l'espérance de cette loi.
On réutilisera les valeurs approchées trouvées aux questions précédentes et on arrondira les résultats à \(10^{-3}\).
On réutilisera les valeurs approchées trouvées aux questions précédentes et on arrondira les résultats à \(10^{-3}\).
Exercice 4 : Arbre de probabilités - Dénombrement (2)
Pendant une émission télévisée, le présentateur invite une personne à jouer à pile ou face. Elle parie qu'en 3 lancers, exactement un tombera sur pile. Cependant, la pièce a une probabilité \(p = 0,5\) de tomber sur pile. Les lancers sont indépendants les uns des autres.
On décide donc de modéliser cette épreuve par une loi binomiale, de paramètres \(n = 3\) et \(p = 0,5\).Dessiner l'arbre de probabilités représentant cette loi. On notera \(S\) le succès, c'est-à-dire tomber sur pile, et \(E\) l'échec, c'est-à-dire tomber sur face d'une épreuve de Bernoulli de paramètre \(n\).
En déduire la probabilité de gagner le pari.
Exercice 5 : Loi binomiale - construction d'arbre
Soit X une variable aléatoire suivant une loi binomiale de paramètres \(n = 3\) et \(p = 0,4\).
Dessiner l'arbre de probabilités représentant cette loi, on notera \(S\) le succès et \(E\) l'échec d'une épreuve de Bernoulli de paramètre \(n\).
Dessiner l'arbre de probabilités représentant cette loi, on notera \(S\) le succès et \(E\) l'échec d'une épreuve de Bernoulli de paramètre \(n\).