Probabilité : Somme de variables aléatoires - Spécialité
Opérations sur les variables aléatoires
Exercice 1 : Somme de variables aléatoires en Python
On considère les fonctions suivantes définie en Python à l'aide d'une fonction randint qui prend deux entiers \( a\text{, }b \) en paramètres et renvoie un entier aléatoire \( r \) tel que \( a \leq r \leq b \).
def simul1():
alea = randint(1, 100)
if alea <= 31:
return -5
if alea >= 76:
return -2
return 0
def simul2():
alea = randint(1, 10)
if alea <= 5:
return 1
if alea > 6:
return 2
return 3
def simul3():
s = simul1() + simul2()
return s
Donner la loi de probabilité de \( X_1 \) la variable aléatoire simulée par la fonction simul1.
On donnera les valeurs prises par la variable aléatoire dans l'ordre croissant.
On donnera les valeurs prises par la variable aléatoire dans l'ordre croissant.
On donnera les valeurs prises par la variable aléatoire dans l'ordre croissant.
Exercice 2 : Comprendre les sommes de variables aléatoires
On considère deux variables aléatoires \( X \) et \( Y \) définies par les lois de probabilités suivantes :
| \(x_i\) | \(0\) | \(4\) |
|---|---|---|
| \(P(X=x_i)\) | \(0,35\) | \(0,65\) |
| \(y_i\) | \(1\) | \(2\) |
|---|---|---|
| \(P(Y=y_i)\) | \(0,65\) | \(0,35\) |
La première ligne devra impérativement être ordonnée par ordre croissant.
Exercice 3 : Un problème concret de probabilités
À l’inscription d’un complexe sportif, la salle de remise en forme propose un tarif de
\( 15 € \) par mois aux moins de 20 ans,
\( 20 € \) aux retraités et
\( 25 € \) pour les autres.
On constate que
\( 10 \) % des adhérents ont moins de 20 ans, et
\( 45 \) % sont des retraités.
En complément, ils peuvent prendre un forfait mensuel pour profiter de la piscine,
\( 10 € \) par mois pour un passage par semaine ou
\( 20 € \) pour deux passages. On constate que
\( 25 \) % des adhérents prennent un forfait un passage
pour la piscine et
\( 30 \) % prennent un forfait deux passages.
Les autres se contentent de la salle de remise en forme.
On note \( X_1 \) la variable aléatoire donnant le prix payé pour la remise en forme.
On note \( X_2 \) la variable aléatoire donnant le prix payé pour la piscine.
On note \( X \) la variable aléatoire donnant le prix total payé par un adhérent.
On remplira la première ligne par ordre croissant, sans préciser d'unité.
On remplira la première ligne par ordre croissant, sans préciser d'unité.
On donnera la réponse sous la forme d'un ensemble sans unités, par exemple \( \{1; 3 \} \).
On donnera la valeur décimale exacte.
On remplira la première ligne par ordre croissant, sans préciser d'unité.
Exercice 4 : Calculs sur les espérances et les écarts-types
Un célèbre parc d'attraction souhaite prévoir ses résultats financiers à l'année.
Les gérants du parc ont noté \(X\) la variable aléatoire donnant le nombre de visiteurs par jour.
Après quelques mesures, ils ont remarqué que l'espérance de \(X\) était de
244 personnes et son écart-type de 31 personnes.
Un ticket d'entrée au parc coûte 8 €, pour tout type de visiteur.
On peut considérer que ces 365 variables aléatoires sont indépendantes et que chacune est identique à la loi de \(X\). On pose \(T = X_{1} + X_{2} + … + X_{365}\), la variable aléatoire donnant le nombre total de visiteurs d’une année.
Quelle est l'espérance de la recette annuelle du parc ?
On suppose que l'année n'est pas bissextile et que le parc est ouvert tous les jours.
On suppose que l'année n'est pas bissextile et que le parc est ouvert tous les jours.
Exercice 5 : Somme de variables aléatoires suivant la loi de Bernoulli
On lance un dé à 8 faces équilibré. On définit \( X \) la variable aléatoire donnant le résultat du lancer de dé.
Déterminer la loi de probabilité de \( X \).On lance 2 fois le dé précédent et on définit \( Y \) la variable aléatoire donnant la somme des résultats des lancers successifs.
Déterminer l’espérance de \( Y \).