Probabilité : Loi des grands nombres - Spécialité

Soit \( \left( X_{1},..., X_{ 30 } \right) \) un échantillon de taille \( 30 \) de la variable aléatoire \( X \) qui suit la loi binomiale de paramètres \( n = 750 \) et \( p = 0,9 \).
On définit : \[ M = \dfrac{X_{1} + ... + X_{ 30}}{30} \]

Donner un majorant de \( P \left( | M - 675 | \geq 11 \right) \) en appliquant l'inégalité de Bienaymé Tchebychev.
On donnera une valeur arrondie du résultat à \( 10^{-3} \) près.

Aux urgences d’un hôpital lors d’une épidémie, le nombre de malades qui arrivent chaque jour est donné par la variable aléatoire \( X \) d’espérance \( 73 \) et de variance \( 20 \).

Donner une majoration de \( P \left( | X - 73 | \geq 22 \right) \) en appliquant l'inégalité de Bienaymé Tchebychev.
On donnera la réponse sous la forme d'une fraction.

Donner une minoration de la probabilité que le nombre de malades soit strictement compris entre \( 52 \) et \( 94 \).
On donnera une valeur arrondie du résultat à \( 10^{-3} \) près.

Le nombre d’heures d’ensoleillement sur l’ile d’Oléron est une variable aléatoire \(X\) d’espérance 2900 et d’écart type 110.

Donner les résultats arrondis au centième si nécessaire.
Déterminer le nombre a tel que \( P(|X-2900|\lt a) \geq 0,7 \).

Une variable aléatoire \( X \) suit une loi binomiale \( B( 1400, \dfrac{2}{5} ) \).

Appliquer l'inégalité de Bienaymé Tchebychev pour trouver un majorant de \( P( | X - 560 | \geq 120 ) \).
On donnera la réponse sous forme de fraction simplifiée, sans préciser de quoi il s'agit.

Soit \( \left( X_{1},..., X_{ 50 } \right) \) un échantillon de taille \( 50 \) de la variable aléatoire \( X \) qui suit la loi binomiale de paramètres \( n = 900 \) et \( p = 0,7 \).
On définit : \[ M = \dfrac{X_{1} + ... + X_{ 50}}{50} \]

Donner un majorant de \( P \left( | M - 630 | \geq 22 \right) \) en appliquant l'inégalité de Bienaymé Tchebychev.
On donnera une valeur arrondie du résultat à \( 10^{-3} \) près.