Préparation au Bac - Spécialité
Préparation au Bac 2024
Exercice 1 : Bac Spécialité 2022 Mayotte Liban - Exercice 2 - QCM suites, fonctions et fonctions logarithmes
Un récipient contenant initialement \( 7 \) litres d’eau est laissé au soleil.
Toutes les heures, le volume d’eau diminue de \( 10 \) %.
On considère la suite \( (u_{n}) \) définie pour tout entier naturel \( n \) par : \[ \left\{\begin{matrix} u_{n+1} = \dfrac{7}{6}u_n \\ u_{0} = 1 \end{matrix}\right. \]
On considère la fonction \( f \) définie sur l'intervalle \( ]0;+\infty[ \) par : \[ f(x) = 4ln(6x) \]
On considère la fonction \( g \) définie sur l'intervalle \( ] \dfrac{1}{2};+\infty[ \) par :
\[ g(x) = \dfrac{ln(2x)}{2x - 1} \]
On note \( C_g \) la courbe représentative de la fonction \( g \) dans un repère orthogonal.
Dans la suite de l'exercice, on considère la fonction \( h \) définie sur l'intervalle \( ]0;2] \) par :
\[ h(x) = 3x^{2}(1+2ln(x)) \]
On note \( C_h \) la courbe représentative de \( h \) dans un repère du plan.
On admet que \( h \) est deux fois dérivables sur l'intervalle \( ]0;2] \).
On note \( h' \) sa dérivée et \( h'' \) sa dérivée seconde.
On admet que, pour tout réel \( x \) de l'intervalle \( ]0;2] \), on a :
\[ h'(x) = 12x(1+ln(x)) \]
Exercice 2 : Bac 2023 (Amérique du Sud) – Exercice 1 : Étude de fonctions
Partie A
On considère la fonction \(f\) définie sur l'ensemble \([0; +\infty[ \) par
\[f(x) = 4 + x^{2} -2x^{2}\operatorname{ln}\left(\dfrac{1}{2}x\right) \]
On admet que \(f\) est dérivable sur l'intervalle et on note \(f'\) sa fonction dérivée.
On admet dans la suite de l'exercice, que l'équation \( f(x) = 0 \) n'admet pas de solution sur l'intervalle \(]0;2]\).
from lycee import *
permet d'accèder à la fonction
ln
.
from lycee import *
def f(x):
return 4 + 1 * x ** 2 - 2 * x ** 2 * ln(1/2 * x)
def dichotomie(p):
a = 2
b = 2.7 / 0.5
while b - a > 10 ** (-p):
if f(a) * f((a + b) / 2) < 0:
b = (a + b) / 2
else:
a = (a + b) / 2
return (a, b)
>>> dichotomie(1)
Partie B
On considère la fonction \(g\) définie sur l'intervalle \(]0; +\infty[\), par \(g(x) = \dfrac{\operatorname{ln}\left(\dfrac{1}{2}x\right)}{4 + x^{2}}\) . On admet que \(g\) est dérivable sur l'intervalle \(]0; +\infty[\) et on note \(g'\) sa fonction dérivée. On note \(C_{g}\) la courbe représentative de la fonction \(g\) dans le plan rapporté à un repère \((O;\vec{i},\vec{j})\).
On admet que \(g(\alpha) = \)\(\dfrac{1}{2\alpha^2}\)
Exercice 3 : Bac Spécialité 2022 Amérique du Nord - Exercice 3 - Géométrie dans l’espace
Dans l’espace muni d’un repère orthonormé \((O; \overrightarrow{i}; \overrightarrow{j}; \overrightarrow{k})\) d’unité \(1\) \(\text{cm}\), on considère les points suivants : \(J(4; 4; -2)\), \(K(2; 8; -2)\), \(L(-12; -4; -14)\)
On donnera le résultat en \(\text{cm}^{2}\) et arrondi à \(0,01\) \(\text{cm}^{2}\) près.
Dans la suite, \(T\) désigne le point de coordonnées \((6; 14; -8)\).
On séparera les coordonnées avec un point-virgule.
Voici un exemple de réponse attendue : \((1;2;-1)\)
On rappelle que le volume \(V\) d’un tétraèdre est donné par la formule :
\(V = \frac{1}{3} B \times h\) où \(B\) désigne l’aire d’une base et \(h\) la hauteur correspondante.
On donnera le résultat arrondi à \(0,001\) \(\text{cm}^{3}\) près.
Exercice 4 : Bac Spécialité 2021 Métropole - Exercice 1 - Probabilités
Dans une école de statistique, après étude des dossiers des candidats, le recrutement se fait de deux façons :
- • \( 20 \)% des candidats sont sélectionnés sur dossier. Ces candidats doivent ensuite passer un oral à l’issue duquel \( 40 \)% d’entre eux sont finalement admis à l’école.
- • Les candidats n’ayant pas été sélectionnés sur dossier passent une épreuve écrite à l’issue de laquelle \( 30 \) % d’entre eux sont admis à l’école.
Partie 1 : Arbre et calcul de probabilités
On choisit au hasard un candidat à ce concours de recrutement. On notera :
- • \( D \) l’évènement « le candidat a été sélectionné sur dossier » ;
- • \( A \) l’évènement « le candidat a été admis à l’école » ;
- • \( \overline{D} \) et \( \overline{A} \) les évènements contraires des évènements \( D \) et \( A \) respectivement.
On donnera les résultats arrondis au centième près.
On arrondira le résultat au centième près.
Partie 2 : Variable aléatoire
Dans une autre école, la probabilité pour un candidat d’être admis à l’école est égale à \( 0,25 \). On considère un échantillon de dix-sept candidats choisis au hasard, en assimilant ce choix à un tirage au sort avec remise. On désigne par \( X \) la variable aléatoire dénombrant les candidats admis à l’école parmi les dix-sept tirés au sort. On admet que la variable aléatoire \( X \) suit une loi binomiale.
1. a. Quel est le paramètre \( n \) de cette loi ?On donnera une réponse arrondie au centième.
On donnera une réponse arrondie au centième.
Un lycée présente \( n \) candidats au recrutement dans cette école, où \( n \) est un entier naturel non nul.
On admet que la probabilité pour un candidat quelconque du lycée d’être admis à l’école est égale à
\( 0,25 \) et que les résultats des candidats sont indépendants les uns des autres.
Exercice 5 : Bac Spécialité 2022 Mayotte Liban - Exercice 2 - QCM suites, fonctions et fonctions logarithmes
Un récipient contenant initialement \( 9 \) litres d’eau est laissé au soleil.
Toutes les heures, le volume d’eau diminue de \( 15 \) %.
On considère la suite \( (u_{n}) \) définie pour tout entier naturel \( n \) par : \[ \left\{\begin{matrix} u_{n+1} = \dfrac{7}{2}u_n \\ u_{0} = 9 \end{matrix}\right. \]
On considère la fonction \( f \) définie sur l'intervalle \( ]0;+\infty[ \) par : \[ f(x) = 4ln(4x) \]
On considère la fonction \( g \) définie sur l'intervalle \( ] \dfrac{1}{3};+\infty[ \) par :
\[ g(x) = \dfrac{ln(3x)}{3x - 1} \]
On note \( C_g \) la courbe représentative de la fonction \( g \) dans un repère orthogonal.
Dans la suite de l'exercice, on considère la fonction \( h \) définie sur l'intervalle \( ]0;2] \) par :
\[ h(x) = -4x^{2}(1+2ln(x)) \]
On note \( C_h \) la courbe représentative de \( h \) dans un repère du plan.
On admet que \( h \) est deux fois dérivables sur l'intervalle \( ]0;2] \).
On note \( h' \) sa dérivée et \( h'' \) sa dérivée seconde.
On admet que, pour tout réel \( x \) de l'intervalle \( ]0;2] \), on a :
\[ h'(x) = -16x(1+ln(x)) \]