Pour aller plus loin (Ancien programme) - Spécialité

Dans une usine, on se propose de tester un prototype de hotte aspirante pour un local industriel.
Avant de lancer la fabrication en série, on réalise l'expérience suivante : dans un local clos équipé du prototype de hotte aspirante, on diffuse du dioxyde de carbone (\( CO_2 \)) à débit constant.

Dans ce qui suit, \( t \) est le temps exprimé en minutes.

À l'instant \( t = 0\), la hotte est mise en marche et on la laisse fonctionner pendant \( 20 \) minutes. Les mesures réalisées permettent de modéliser le taux (en pourcentage) de \( CO_2 \) contenu dans le local au bout de \( t \) minutes de fonctionnement de la hotte par l'expression \( f(t) \), où \( f \) est la fonction définie pour tout réel \( t \) de l'intervalle \( [0 ; 20] \) par : \[ f(t) = \left(0,8t + 0,2\right)e^{-0,7t} + 0,27 \] On donne ci-après le tableau de variation de la fonction \( f \) sur l'intervalle \( [0; 20]\).

Ainsi, la valeur \( f(0) = 0,47 \) traduit le fait que le taux de \( CO_2 \) à l'instant \( 0 \) est égal à \( 47\%% \).

Calculer \( f(20) \).
On arrondira le résultat au millième.

Déterminer le taux maximal de \( CO_2 \) présent dans le local pendant l'expérience.
On arrondira le résultat à \( 0,1 \% \)

On souhaite que le taux de \( CO_2 \) retrouve une valeur \( V \) inférieure ou égale à \( 39\%% \).
On considère l'algorithme suivant :

Quelle est la valeur de la variable \( t \) à la fin de l'algorithme ?

En partant du taux maximal de \( CO_2 \) à \( 1,2 \) minute, en progressant par paliers de \( 0,1 \) minute, à quel instant \( t\) obtenons-nous un taux de \( CO_2 \) qui redescend en dessous de \( 39\%% \) ?
Exemple de réponse attendue : \( 0,1min \)

On désigne par \( V_m \) le taux moyen (en pourcentage) de \( CO_2 \) présent dans le local pendant les \( 15 \) premières minutes de fonctionnement de la hotte aspirante.

Soit \( F \) la fonction définie sur l'intervalle \( [0; 15 ] \) par : \[ F(t) = - \dfrac{94}{49}e^{- \dfrac{7}{10}t} + \dfrac{27}{100}t - \dfrac{8}{7}te^{- \dfrac{7}{10}t} \] Calculer la dérivée de \( F \).

En déduire le taux moyen \( V_m \), valeur moyenne de la fonction \( f \) sur l'intervalle \( [0; 15] \).
On arrondira le résultat à \( 0,1 \% \)

Dans tout cet exercice, les résultats des probabilités seront arrondis à \(10^{-3}\) près.

Soit \(X\) une variable aléatoire qui suit la loi exponentielle de paramètre \(\lambda\), où \(\lambda\) est un réel strictement positif donné.
On rappelle que la densité de probabilité de la cette loi est la fonction \(f\) définie sur \(\left[0;+\infty\right[\) par \(f(x)=\lambda e^{-\lambda x}\).

Soit \(c\) et \(d\) deux réels tels que \(0 \leq c < d\).
Donner l'expression littérale de la valeur de \(P(c \leq X \leq d)\).

Déterminer une valeur de \(\lambda\) à \(10^{-3}\) près de telle sorte que la probabilité \(P(X > 20)\) soit égale à 0,05.

Dans la suite de l'exercice, on prend \(\lambda = 0,3\).Donner, toujours avec une précision à \(10^{-3}\) près, l'espérance de la variable aléatoire X.

Calculer \(P(7 \leq X \leq 19)\).

Calculer la probabilité de l'événement \((X > 11)\).

Soit \(Y\) une variable aléatoire qui suit la loi normale d'espérance 10 et d'écart-type 1,4.Quelle est la probabilité de l'événement \((14 \leq Y \leq 16)\) ?

Quelle est la probabilité de l'événement \((Y < 7) \cup ( Y > 12)\) ?

Le virus de la grippe atteint chaque année, en période hivernale, une partie de la population d’une ville.
La vaccination contre la grippe est possible ; elle doit être renouvelée chaque année.

Partie A

L’efficacité du vaccin contre la grippe peut être diminuée en fonction des caractéristiques individuelles des personnes vaccinées, ou en raison du vaccin, qui n’est pas toujours totalement adapté aux souches du virus qui circulent. Il est donc possible de contracter la grippe tout en étant vacciné.

Une étude menée dans la population de la ville à l’issue de la période hivernale a permis de constater que :

• \( 53 \) % de la population est vaccinée.
• \( 6 \) % des personnes vaccinées ont contracté la grippe.
• \( 17 \) % de la population a contracté la grippe.

On choisit une personne au hasard dans la population de la ville et on considère les événements :

• V : « la personne est vaccinée contre la grippe ».
• G : « la personne a contracté la grippe ».

Donner la probabilité de l’événement \( G \).

Compléter l’arbre de probabilités donné.

Déterminer la probabilité que la personne choisie soit vaccinée et ait contracté la grippe.
On donnera un résultat arrondi à \( 10^{-3} \) près.

Considérons le cas d'une personne non vaccinée. Déterminer la probabilité que la personne choisie ait contracté la grippe.
On donnera un résultat arrondi à \( 10^{-3} \) près.

Partie B

Un laboratoire pharmaceutique mène une étude sur la vaccination contre la grippe dans cette ville.
Après la période hivernale, on interroge au hasard \( n \) habitants de la ville, en admettant que ce choix se ramène à \( n \) tirages successifs indépendants et avec remise.
On suppose que la probabilité qu’une personne choisie au hasard dans la ville soit vaccinée contre la grippe est égale à \( 0,53 \). On note \( X \) la variable aléatoire égale au nombre de personnes vaccinées parmi les \( n \) interrogées.

Déterminer la probabilité qu’exactement \( 25 \) des \( 44 \) personnes interrogées soient vaccinées.
On donnera un résultat arrondi à \( 10^{-3} \) près.

Déterminer la probabilité qu'au moins la moitié des personnes interrogées soit vaccinée.
On donnera un résultat arrondi à \( 10^{-3} \) près.

On interroge un échantillon de \( 3610 \) habitants de la ville, c’est-à-dire que l’on suppose ici que \( n = 3610 \).
On note \( Y \) la variable aléatoire définie par : \( \dfrac{X - 1565}{31} \).
On admet que la loi de probabilité de la variable aléatoire \( Y \) peut être approchée par la loi normale centrée réduite.

En utilisant cette approximation, déterminer la probabilité qu’il y ait entre \( 1505 \) et \( 1625 \) individus vaccinés dans l’échantillon interrogé.
On donnera un résultat arrondi à \( 10^{-3} \) près.

On considère l'équation (E) à résoudre dans \( \mathbb{Z} \) : \[ -3y + 13x = 1 \]

Donner, sous la forme d'un couple \( \left(x \ ; y \right) \) une solution évidente de (E).

Réécrire l'équation (E) sous la forme \( a(x + b) = c(y + d) \) où \( a \), \( b \), \( c \) et \( d \) sont des entiers.

Soit \( k \in \mathbb{Z} \). Donner sous la forme d'un couple \( \left(x \ ; y \right) \) une solution de (E) dépendant de \( k \).

Une boîte contient 25 jetons, des rouges, des verts et des blancs. Sur les 25 jetons, il y a \( x \) jetons rouges et \( y \) jetons verts.
Sachant que \( -3y + 13x = 1 \), donner, sous la forme d'un triplet \( \left( x \ ; y \ ; z \right) \) le nombre de jetons rouges, verts et blancs et sachant que l'on cherche à maximiser le nombre de jetons rouges.

Dans la suite, on supposera qu'il y a 1 jetons rouges et 4 jetons verts.

On considère la marche aléatoire suivante d'un pion sur un triangle ABC. À chaque étape, on tire au hasard un des jetons parmi les 25, puis on le remet dans la boîte.

• Lorsqu'on est en A :
  Le pion va en B si le jeton tiré est vert. Il va en C si le jeton tiré est rouge. Enfin, il reste en A si le jeton tiré est blanc.
• Lorsqu'on est en B :
  Le pion va en A si le jeton tiré est vert. Il va en C si le jeton tiré est rouge. Enfin, il reste en B si le jeton tiré est blanc.
• Lorsqu'on est en C :
  Le pion va en A si le jeton tiré est vert. Il va en B si le jeton tiré est rouge. Enfin, il reste en C si le jeton tiré est blanc.

Au départ, le pion est sur le sommet A.

Pour tout entier naturel \( n \), on note \( a_{n} \), \( b_{n} \) et \( c_{n} \) les probabilités que le pion soit respectivement sur les sommets A, B et C à l'étape \( n \).

On note \( X_{n} \) la matrice ligne \( \begin{pmatrix} a_{n} & b_{n} & c_{n} \end{pmatrix} \) et \( T \) la matrice \( \begin{pmatrix}0,8 & 0,16 & 0,04\\0,16 & 0,8 & 0,04\\0,16 & 0,04 & 0,8\end{pmatrix} \).

Donner la matrice ligne \( X_{0} \).

Établir une relation entre \( X_{n+1} \), \( X_{n} \) et \( T \).

On admet que \( T = PDP^{-1} \) où \( P^{-1} = \begin{pmatrix}- \dfrac{1}{9} & \dfrac{1}{9} & 0\\0 & - \dfrac{1}{6} & \dfrac{1}{6}\\\dfrac{4}{9} & \dfrac{7}{18} & \dfrac{1}{6}\end{pmatrix} \) et \( D = \begin{pmatrix}0,64 & 0 & 0\\0 & 0,76 & 0\\0 & 0 & 1\end{pmatrix} \).

À l'aide de la calculatrice, donner les coefficients de la matrice P.

Écrire la relation qui lie \( T^n \), \( P \), \( P^{-1} \) et \( D^n \).

Donner directement les coefficients de la matrice \( D^n \).

On note \( \alpha_n \), \( \beta_n \), \( \gamma_n \) les coefficients de la première ligne de la matrice \( T^n \). Ainsi : \[ T^{n} = \begin{pmatrix} \alpha_n & \beta_n & \gamma_n \\ ... & ... & ... \\ ... & ... & ... \end{pmatrix} \]

On admet que \( \alpha_n = \dfrac{4}{9} + \dfrac{5}{9} \times 16^{n} \times 25^{- n} \) et \( \beta_n = \dfrac{7}{18} - \dfrac{5}{9}\left(\dfrac{16}{25}\right)^{n} + \dfrac{1}{6}\left(\dfrac{19}{25}\right)^{n} \).

On ne cherchera pas à calculer les coefficients de la deuxième ligne ni ceux de la troisième ligne.
On rappelle que, pour tout entier naturel \( n \), \( X_n = X_0 T^n \).

Après avoir identifié la relation qui lie \( a_n \) à \( \alpha_n \) ainsi que celle qui lie \( b_n \) à \( \beta_n \), exprimer en fonction de \( n \) le nombre \( c_n \).

Déterminer les limites des suites \( (a_n) \), \( (b_n) \) et \( (c_n) \).
On donnera la réponse sous la forme d'un triplet de valeurs numériques \( ( l_a \ ; l_b \ ; l_c ) \).

Sur quel sommet a-t-on le plus de chance de se retrouver après un grand nombre d'itérations de cette marche aléatoire ?

Partie A

Un laboratoire pharmaceutique propose des tests de dépistage de diverses maladies. Son service de communication met en avant les caractéristiques suivantes :

• la probabilité qu’une personne malade présente un test positif est 0,967 ;
• la probabilité qu’une personne saine présente un test positif est 0,005.

Pour une maladie qui vient d’apparaître, le laboratoire élabore un nouveau test. Une étude statistique permet d’estimer que le pourcentage de personnes malades parmi la population d’une métropole est égal à 0,8%. On choisit au hasard une personne dans cette population et on lui fait subir le test.
On note :

• \(M\) l’événement « la personne choisie est malade ».
• \(S\) l’événement « la personne choisie est saine ».
• \(P\) l’événement « le test est positif ».
• \(N\) l’événement « le test est négatif ».

Traduire l’énoncé sous la forme d’un arbre pondéré.

Calculer \(p(P)\).
On arrondira la probabilité à \(10^{-3}\) près.

Si le test est positif, quelle est la probabilité que la personne soit malade ?
On arrondira la probabilité à \(10^{-3}\) près.

Le laboratoire décide de commercialiser le test dès lors que la probabilité qu’une personne testée positivement soit malade est supérieure ou égale à 0,95. On désigne par \(x\) la proportion de personnes atteintes d'une certaine maladie dans la population. A partir de quelle valeur de \(x\) le laboratoire commercialise-t-il le test correspondant ?
On arrondira la proportion à \(10^{-3}\) près.

Partie B

La chaîne de production du laboratoire fabrique, en très grande quantité, le comprimé d’un médicament.Un comprimé est conforme si sa masse est comprise entre 1280 et 1350 mg. On admet que la masse en milligrammes d’un comprimé pris au hasard dans la production peut être modélisée par une variable aléatoire \(X\) qui suit la loi normale \(\mathcal{N}(\mu,\sigma^2)\) de moyenne \(\mu = 1300\) et d'écart-type \(\sigma = 6\).Calculer la probabilité qu'un comprimé prélevé au hasard soit conforme.
On arrondira la probabilité à \(10^{-3}\) près.

Déterminer le plus petit entier positif \(h\) tel que \(p(1300 -h \leq X \leq 1300 + h) \gt 0,9\).

La chaîne de production a été réglée dans le but d’obtenir au moins 96% de comprimés conformes. Afin d’évaluer l’efficacité des réglages, on effectue un contrôle en prélevant un échantillon de 500 comprimés dans la production. La taille de la production est supposée suffisamment grande pour que ce prélèvement puisse être assimilé à 500 tirages successifs avec remise.
Le contrôle effectué a permis de dénombrer 18 comprimés non conformes sur l’échantillon prélevé.
Déterminer l'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95% de la probabilité d'avoir un comprimé conforme.
On arrondira les bornes à \(10^{-3}\) près. Par exemple, \([0,2627 ; 0,6648]\) deviendra \([0,263 ; 0,665]\).

Les réglages de l'usine sont-ils bons ?