Pour aller plus loin (Ancien programme) - Spécialité
La géométrie dans l'espace
Exercice 1 : Déterminer les équations cartésienne et paramétrique d'un cercle
Soit \((O;\vec{i};\vec{j})\) un repère orthonormal du plan.
Soit un point \(M (2;-4)\).
On nomme \(\mathcal{C}\) l'arc de cercle de centre \(M\), de rayon \(5\) et allant du point \(A (2;1)\) jusqu'au point \(B (2;-9)\).
Soit \(I\) un intervalle inclus dans \(\mathbb{R}\).
On se donne l'équation paramétrique suivante : \( \left \{ \begin{array}{c @{=} c} x & = & 2 + 5\operatorname{cos}{\left (t \right )} \\ y & = & -4 + 5\operatorname{sin}{\left (t \right )} \\ \end{array} \right. , \text{ }t\in I \)
Pour quel intervalle \(I\), inclus dans \(\left[0; 2\pi \right]\), l'équation paramétrique précédente est celle de \(\mathcal{C}\) ?
Soit un point \(M (2;-4)\).
On nomme \(\mathcal{C}\) l'arc de cercle de centre \(M\), de rayon \(5\) et allant du point \(A (2;1)\) jusqu'au point \(B (2;-9)\).
Soit \(I\) un intervalle inclus dans \(\mathbb{R}\).
On se donne l'équation paramétrique suivante : \( \left \{ \begin{array}{c @{=} c} x & = & 2 + 5\operatorname{cos}{\left (t \right )} \\ y & = & -4 + 5\operatorname{sin}{\left (t \right )} \\ \end{array} \right. , \text{ }t\in I \)
Pour quel intervalle \(I\), inclus dans \(\left[0; 2\pi \right]\), l'équation paramétrique précédente est celle de \(\mathcal{C}\) ?
Exercice 2 : Déterminer les équations cartésienne et paramétrique d'un cercle
Soit \((O;\vec{i};\vec{j})\) un repère orthonormal du plan. Soit un point \(A (-3;4)\).
On nomme \(\mathcal{C}\) le cercle de centre \(A\) et de diamètre \(2\).
Déterminer une équation de \(\mathcal{C}\).
On donnera la réponse sous la forme d'une équation de cercle.
On nomme \(\mathcal{C}\) le cercle de centre \(A\) et de diamètre \(2\).
Déterminer une équation de \(\mathcal{C}\).
On donnera la réponse sous la forme d'une équation de cercle.
Laquelle des représentations paramétriques suivantes est une représentation paramétrique de \(\mathcal{C}\) ?
Exercice 3 : Parmi les couples de vecteurs suivants, lesquels sont orthogonaux ?
Parmi les couples de vecteurs suivants, lesquels sont orthogonaux ?
- A.\( \vec{u}\left(-3;-2;-5\right) \text{ et }\vec{v}\left(24;4;-16\right) \)
- B.\( \vec{u}\left(-5;-1;-5\right) \text{ et }\vec{v}\left(-6;10;4\right) \)
- C.\( \vec{u}\left(-5;-4;4\right) \text{ et }\vec{v}\left(36;-13;32\right) \)
- D.\( \vec{u}\left(-3;1;3\right) \text{ et }\vec{v}\left(9;-24;20\right) \)
Exercice 4 : Norme d'un vecteur dans un repère orthonormé
Soit un repère orthonormé \(\left(O; \vec{i}, \vec{j}, \vec{k}\right)\).
Soit le vecteur \(\overrightarrow{AB} \left(4;4;-6\right) \).
Exercice 5 : Identifier une représentation paramétrique d'un plan
Soit le plan \( P \) passant par le point \( A\left(4;4;3\right) \) et dirigé par les vecteurs \( \vec u\left(4;5;3\right) \) et \( \vec v\left(-4;2;-7\right) \).
Choisir une représentation paramétrique du plan \( P \) :
Trouver le ou les point(s) appartenant au plan \( P \).
- 1\[ C\left(8;-5;10\right) \]
- 2\[ B\left(12;0;17\right) \]
- 3\[ E\left(24;8;30\right) \]
- 4\[ D\left(24;1;30\right) \]