Pour aller plus loin (Ancien programme) - Spécialité
Arithmétique
Exercice 1 : Equation diophantienne
On se propose de déterminer l’ensemble \(\mathcal{S}\) des entiers relatifs \(\left(x \: ; \: y\right)\)
vérifiant l'équation :
\[ 12x + 14y = 2 \]
Trouver un couple solution de l'équation.
On écrira la réponse sous la forme \(\left(1 \: ; \: 2\right)\)
Déterminer tous les couples d'entiers relatifs \(\left(x \: ; \: y\right)\) solutions de l'équation.
On écrira la réponse sous la forme \(\left(3 + 3k \: ; \: 2 + 2k\right)\), où k est un entier relatif quelconque
On écrira la réponse sous la forme \(\left(3 + 3k \: ; \: 2 + 2k\right)\), où k est un entier relatif quelconque
Exercice 2 : Equation diophantienne (bac 2011)
On se propose de déterminer l’ensemble \(\mathcal{S}\) des entiers relatifs \(n\) vérifiant le système : \[ \begin{cases} n \equiv 10 \left[16\right] \\ n \equiv 4 \left[7\right] \end{cases} \]
Recherche d’un élément de \(\mathcal{S}\).
On désigne par \(\left(u\ ; \ v \right)\) un couple d’entiers relatifs tel que \[16u + 7v = 1\]
Donner un exemple de couple vérifiant cette égalité.
On écrira la réponse sous la forme \(\left(1\ ; \ 2\right)\)
On écrira la réponse sous la forme \(\left(1\ ; \ 2\right)\)
Dans les 3 prochaines questions, on supposera \(u\) et \(v\) inconnus.
On pose
\[n_0 = 4 \times 16 u + 10 \times 7 v\]
Ecrire \(n_0\) uniquement en fonction de \(u\).
On donnera la réponse sous une forme réduite.
On donnera la réponse sous une forme réduite.
Ecrire \(n_0\) uniquement en fonction de \(v\).
On donnera la réponse sous une forme réduite.
On donnera la réponse sous une forme réduite.
\(n_0\) appartient-il à \(\mathcal{S}\) ?
Que vaut \(n_0\) ? On utilisera le couple \(\left(u\ ; \ v\right)\) trouvé précédemment.
Déduire des questions précédentes une expression de l'ensemble des solutions \(\mathcal{S}\).
On écrira la solution en fonction de \(k\) un entier relatif quelconque.
On écrira la solution en fonction de \(k\) un entier relatif quelconque.
Zoé sait qu’elle a entre 523 et 745 jetons. Si elle fait des tas de 16 jetons, il lui en reste 10. Si
elle fait des tas de 7 jetons, il lui en reste 4.
Combien a-t-elle de jetons ?
Exercice 3 : Divisibilité - Déterminer l'ensemble des entiers relatifs tel que deux expressions soient divisibles
\( n \) est un entier relatif.
En déduire l'ensemble des entiers relatifs \( n \) tels que \( \left( 1 + 4n \right) \) divise \( \left( 17 + 16n \right) \).
On donnera la réponse sous la forme d'un ensemble, par exemple \( \left\{ 1; 3 \right\} \) ou \( \left[ 2; 4 \right[ \).
On donnera la réponse sous la forme d'un ensemble, par exemple \( \left\{ 1; 3 \right\} \) ou \( \left[ 2; 4 \right[ \).
Exercice 4 : Utiliser le théorème de Fermat
Quel est le reste de la division euclidienne de \( 4^{14} \) par \( 11 \) ?
Exercice 5 : Déterminer le PGCD de deux polynômes du second degrès ayant une racine commune
Soit \( n \in \mathbb{N}\).
Factoriser le polynôme \( n^{2} - n -30 \).
Factoriser le polynôme \( n^{2} -2n -24 \).
Soit \( n \geq 6 \). En déduire le PGCD de
\( \left( n^{2} - n -30 ; n^{2} -2n -24 \right) \).