ENVIRONNEMENT DE RECETTE

Orthogonalité et distances dans l’espace - Spécialité

Utiliser le produit scalaire : Orthogonalité de deux vecteurs

Exercice 1 : Déterminer quelle droite est orthogonale à un plan défini par les coordonnées de trois points

Dans un repère orthonormé, on considère les points \( A(-1;-6;8) \) ; \( B(3;5;0) \) et \( C(4;0;3) \).
On note trois droites :
- \( (d_{1}) \) de vecteur directeur \( \overrightarrow{u} = \begin{bmatrix} 5\mbox{,}5 \\ -0\mbox{,}4 \\ 2\mbox{,}2 \end{bmatrix} \)

- \( (d_{2}) \) de vecteur directeur \( \overrightarrow{v} = \begin{bmatrix} -0\mbox{,}7 \\ -2 \\ -3\mbox{,}1 \end{bmatrix} \)

- \( (d_{3}) \) de vecteur directeur \( \overrightarrow{w} = \begin{bmatrix} 5\mbox{,}7 \\ -1 \\ 4\mbox{,}5 \end{bmatrix} \)

Laquelle de ces droites est orthogonale au plan \((ABC)\) ?

Exercice 2 : Déterminer si 2 vecteurs sont orthogonaux à partir de leur produit scalaire

Déterminer lesquels de ces 4 vecteurs sont orthogonaux

\[ \overrightarrow{t} (-3 ; 0 ; -1) \] \[ \overrightarrow{u} (-3 ; 1 ; -1) \] \[ \overrightarrow{v} (0 ; 2 ; 0) \] \[ \overrightarrow{w} (0 ; -2 ; -1) \] Parmi les choix suivants, lesquels sont vrais?
  • A.\( \overrightarrow{t} \) et \( \overrightarrow{u} \) sont orthogonaux
  • B.\( \overrightarrow{t} \) et \( \overrightarrow{v} \) sont orthogonaux
  • C.\( \overrightarrow{t} \) et \( \overrightarrow{w} \) sont orthogonaux
  • D.\( \overrightarrow{u} \) et \( \overrightarrow{v} \) sont orthogonaux
  • E.\( \overrightarrow{u} \) et \( \overrightarrow{w} \) sont orthogonaux
  • F.\( \overrightarrow{v} \) et \( \overrightarrow{w} \) sont orthogonaux
  • G.aucun de ces vecteurs ne sont orthogonaux

Exercice 3 : Calculer des coordonnées de vecteurs et utiliser le produit scalaire pour trouver des droites orthogonales

Dans un repère orthonormé, on considère les points \( A(6;0;2) \) ; \( B(4;6;6) \) ; \( C(-3;1;-3) \) ; \( D(-1;-2;-1) \) ; \( E(1;3;3) \) et \( F(4;1;-3) \)

Cocher les affirmations qui sont vraies.

Exercice 4 : Déterminer quelle droite est orthogonale à un plan défini par les coordonnées de trois points

Dans un repère orthonormé, on considère les points \( A(7;6;4) \) ; \( B(5;4;-2) \) et \( C(-2;1;0) \).
On note trois droites :
- \( (d_{1}) \) de vecteur directeur \( \overrightarrow{u} = \begin{bmatrix} -1\mbox{,}8 \\ 1 \\ 2\mbox{,}8 \end{bmatrix} \)

- \( (d_{2}) \) de vecteur directeur \( \overrightarrow{v} = \begin{bmatrix} -2\mbox{,}2 \\ 4\mbox{,}6 \\ -0\mbox{,}8 \end{bmatrix} \)

- \( (d_{3}) \) de vecteur directeur \( \overrightarrow{w} = \begin{bmatrix} -2\mbox{,}5 \\ -3\mbox{,}5 \\ 2 \end{bmatrix} \)

Laquelle de ces droites est orthogonale au plan \((ABC)\) ?

Exercice 5 : Déterminer si 2 vecteurs sont orthogonaux à partir de leur produit scalaire

Déterminer lesquels de ces 4 vecteurs sont orthogonaux

\[ \overrightarrow{t} (-3 ; 0 ; -1) \] \[ \overrightarrow{u} (-3 ; 1 ; -1) \] \[ \overrightarrow{v} (0 ; 2 ; 0) \] \[ \overrightarrow{w} (0 ; -2 ; -1) \] Parmi les choix suivants, lesquels sont vrais?
  • A.\( \overrightarrow{t} \) et \( \overrightarrow{u} \) sont orthogonaux
  • B.\( \overrightarrow{t} \) et \( \overrightarrow{v} \) sont orthogonaux
  • C.\( \overrightarrow{t} \) et \( \overrightarrow{w} \) sont orthogonaux
  • D.\( \overrightarrow{u} \) et \( \overrightarrow{v} \) sont orthogonaux
  • E.\( \overrightarrow{u} \) et \( \overrightarrow{w} \) sont orthogonaux
  • F.\( \overrightarrow{v} \) et \( \overrightarrow{w} \) sont orthogonaux
  • G.aucun de ces vecteurs ne sont orthogonaux
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False