Limite d'une fonction - Spécialité
Théorème de comparaison, croissance comparée et théorème des gendarmes
Exercice 1 : Limite par encadrement, majoration/minoration d'une fonction rationnelle
Soit f la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par \[f: x \mapsto \dfrac{-4x + 2}{\operatorname{cos}{\left (9x -6 \right )} + 8}\]
Déterminer la minoration la plus précise de la fonction f pour x suffisamment petit, ne contenant plus de fonction trigonométrique. (on écrira la minoration sous la forme \(f(x) \geq ...\))
Déterminer la minoration la plus précise de la fonction f pour x suffisamment petit, ne contenant plus de fonction trigonométrique. (on écrira la minoration sous la forme \(f(x) \geq ...\))
En déduire \[\lim_{x \to -\infty}{\dfrac{-4x + 2}{\operatorname{cos}{\left (9x -6 \right )} + 8}}\]
Exercice 2 : Limite plus ou moins l'infini d'exponentielle et croissance comparée
Déterminer
\[ \lim_{x \to +\infty}{\left(7x^{2} + 9x -6\right)e^{- x}} \]
Exercice 3 : Limite par encadrement, majoration/minoration d'un polynôme
Soit f la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par \[f: x \mapsto -5x^{3} + 8x^{2}\operatorname{sin}{\left (6x -1 \right )}\]
Déterminer la minoration la plus précise de la fonction f pour \(x \leq 0\), ne contenant plus de fonction trigonométrique. (on écrira cet encadrement sous la forme \(f(x) \geq ...\))
Déterminer la minoration la plus précise de la fonction f pour \(x \leq 0\), ne contenant plus de fonction trigonométrique. (on écrira cet encadrement sous la forme \(f(x) \geq ...\))
En déduire \[\lim_{x \to -\infty}{-5x^{3} + 8x^{2}\operatorname{sin}{\left (6x -1 \right )}}\]
Exercice 4 : Croissance comparée logarithme et puissance de x
Déterminer
\[ \lim_{x \to -\infty}{1 + \dfrac{\operatorname{ln}\left(3x^{4} + 4\right)}{-5x^{4}}} \]
Exercice 5 : Logarithme et croissance comparée
Déterminer
\[ \lim_{x \to +\infty}{\dfrac{-2x + 5}{\operatorname{ln}\left(5x + 9\right)} + 9} \]