Limite d'une fonction - Spécialité
Fonctions trigonométriques
Exercice 1 : Limite par encadrement, fonction trigo au dénominateur
Soit \( f \) la fonction définie sur \(]-\infty, -1[\) par \[f: x \mapsto \dfrac{3x + 3}{-4x + \operatorname{sin}{\left(4x \right)}}\]
Déterminer le plus petit encadrement de la fonction \( f \), ne contenant plus de fonction trigonométrique,
pour
\( x \) suffisamment petit.
On écrira cet encadrement sous la forme \(... \leq f(x) \leq ...\)
On écrira cet encadrement sous la forme \(... \leq f(x) \leq ...\)
En déduire \[\lim_{x \to -\infty}{\dfrac{3x + 3}{-4x + \operatorname{sin}{\left(4x \right)}}}\]
Exercice 2 : Limite par encadrement, majoration/minoration d'un polynôme
Soit f la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par \[f: x \mapsto - x^{3} -4x^{2}\operatorname{cos}{\left (3x + 5 \right )}\]
Déterminer la majoration la plus précise de la fonction f pour \(x \geq 0\), ne contenant plus de fonction trigonométrique. (on écrira cet encadrement sous la forme \(f(x) \leq ...\))
Déterminer la majoration la plus précise de la fonction f pour \(x \geq 0\), ne contenant plus de fonction trigonométrique. (on écrira cet encadrement sous la forme \(f(x) \leq ...\))
En déduire \[\lim_{x \to +\infty}{- x^{3} -4x^{2}\operatorname{cos}{\left (3x + 5 \right )}}\]
Exercice 3 : Limite par encadrement, fonction trigo au numérateur
Soit f la fonction définie sur \(\left]- \dfrac{1}{2}; +\infty\right[\) par \[f: x \mapsto \dfrac{3x + \operatorname{sin}{\left (x \right )} -1}{2x + 1}\]
Déterminer le plus petit encadrement de la fonction f, ne contenant plus de fonction trigonométrique, sur \(\left]- \dfrac{1}{2}; +\infty\right[\). (on écrira cet encadrement sous la forme \(... \leq f(x) \leq ...\))
Déterminer le plus petit encadrement de la fonction f, ne contenant plus de fonction trigonométrique, sur \(\left]- \dfrac{1}{2}; +\infty\right[\). (on écrira cet encadrement sous la forme \(... \leq f(x) \leq ...\))
En déduire \[\lim_{x \to +\infty}{\dfrac{3x + \operatorname{sin}{\left (x \right )} -1}{2x + 1}}\]
Exercice 4 : Limite par encadrement, fonction trigo au dénominateur
Soit \( f \) la fonction définie sur \(]-\infty, 0[\) par \[f: x \mapsto \dfrac{x + 3}{-2x + \operatorname{cos}{\left(3x \right)} + 4}\]
Déterminer le plus petit encadrement de la fonction \( f \), ne contenant plus de fonction trigonométrique,
pour
\( x \) suffisamment petit.
On écrira cet encadrement sous la forme \(... \leq f(x) \leq ...\)
On écrira cet encadrement sous la forme \(... \leq f(x) \leq ...\)
En déduire \[\lim_{x \to -\infty}{\dfrac{x + 3}{-2x + \operatorname{cos}{\left(3x \right)} + 4}}\]
Exercice 5 : Limite par encadrement, majoration/minoration d'un polynôme
Soit f la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par \[f: x \mapsto -8x^{5} -8x^{2}\operatorname{sin}{\left (5x + 6 \right )}\]
Déterminer la majoration la plus précise de la fonction f pour \(x \geq 0\), ne contenant plus de fonction trigonométrique. (on écrira cet encadrement sous la forme \(f(x) \leq ...\))
Déterminer la majoration la plus précise de la fonction f pour \(x \geq 0\), ne contenant plus de fonction trigonométrique. (on écrira cet encadrement sous la forme \(f(x) \leq ...\))
En déduire \[\lim_{x \to +\infty}{-8x^{5} -8x^{2}\operatorname{sin}{\left (5x + 6 \right )}}\]