Fonctions cosinus et sinus - Spécialité
Limite
Exercice 1 : Limite par encadrement, majoration/minoration d'un polynôme
Soit f la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par \[f: x \mapsto 4x^{5} -5\operatorname{cos}{\left (8x -7 \right )}\]
Déterminer la minoration la plus précise de la fonction f pour \(x \geq 0\), ne contenant plus de fonction trigonométrique. (on écrira cet encadrement sous la forme \(f(x) \geq ...\))
Déterminer la minoration la plus précise de la fonction f pour \(x \geq 0\), ne contenant plus de fonction trigonométrique. (on écrira cet encadrement sous la forme \(f(x) \geq ...\))
En déduire \[\lim_{x \to +\infty}{4x^{5} -5\operatorname{cos}{\left (8x -7 \right )}}\]
Exercice 2 : Limite par encadrement, fonction trigo au dénominateur
Soit \( f \) la fonction définie sur \(]1, +\infty[\) par \[f: x \mapsto \dfrac{2x + 2}{3x + \operatorname{cos}{\left(x \right)}}\]
Déterminer le plus petit encadrement de la fonction \( f \), ne contenant plus de fonction trigonométrique,
pour
\( x \) suffisamment grand.
On écrira cet encadrement sous la forme \(... \leq f(x) \leq ...\)
On écrira cet encadrement sous la forme \(... \leq f(x) \leq ...\)
En déduire \[\lim_{x \to +\infty}{\dfrac{2x + 2}{3x + \operatorname{cos}{\left(x \right)}}}\]
Exercice 3 : Limite par encadrement, fonction trigo au numérateur
Soit f la fonction définie sur \(\left]-\infty; 1\right[\) par \[f: x \mapsto \dfrac{-2x + \operatorname{sin}{\left (2x \right )} + 4}{- x + 1}\]
Déterminer le plus petit encadrement de la fonction f, ne contenant plus de fonction trigonométrique, sur \(\left]-\infty; 1\right[\). (on écrira cet encadrement sous la forme \(... \leq f(x) \leq ...\))
Déterminer le plus petit encadrement de la fonction f, ne contenant plus de fonction trigonométrique, sur \(\left]-\infty; 1\right[\). (on écrira cet encadrement sous la forme \(... \leq f(x) \leq ...\))
En déduire \[\lim_{x \to -\infty}{\dfrac{-2x + \operatorname{sin}{\left (2x \right )} + 4}{- x + 1}}\]
Exercice 4 : Limite par encadrement, majoration/minoration d'un polynôme
Soit f la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par \[f: x \mapsto 3x^{5} -6x^{3}\operatorname{cos}{\left (3x + 4 \right )}\]
Déterminer la majoration la plus précise de la fonction f pour \(x \leq 0\), ne contenant plus de fonction trigonométrique. (on écrira cet encadrement sous la forme \(f(x) \leq ...\))
Déterminer la majoration la plus précise de la fonction f pour \(x \leq 0\), ne contenant plus de fonction trigonométrique. (on écrira cet encadrement sous la forme \(f(x) \leq ...\))
En déduire \[\lim_{x \to -\infty}{3x^{5} -6x^{3}\operatorname{cos}{\left (3x + 4 \right )}}\]
Exercice 5 : Limite par encadrement, fonction trigo au dénominateur
Soit \( f \) la fonction définie sur \(]-\infty, -1[\) par \[f: x \mapsto \dfrac{3x + 3}{-4x + \operatorname{sin}{\left(4x \right)}}\]
Déterminer le plus petit encadrement de la fonction \( f \), ne contenant plus de fonction trigonométrique,
pour
\( x \) suffisamment petit.
On écrira cet encadrement sous la forme \(... \leq f(x) \leq ...\)
On écrira cet encadrement sous la forme \(... \leq f(x) \leq ...\)
En déduire \[\lim_{x \to -\infty}{\dfrac{3x + 3}{-4x + \operatorname{sin}{\left(4x \right)}}}\]