Dérivation, convexité - Spécialité
Étude de convexité
Exercice 1 : Dérivée seconde et étude de convexité d'une fonction (polynome, racine, racine et ln)
Soit \( f \) la fonction définie sur \( \mathbb{R} \) par \( f(x) = -4x^{3} + 5x^{2} -9x + 6 \). On admet que \( f \) est dérivable deux fois sur son ensemble de définition.
Déterminer l'expression de la dérivée de \( f \).Exercice 2 : Étude de la convexité d'une fonction à partir de la courbe de sa dérivée seconde
Voici la représentation graphique de la dérivée seconde d'une fonction \( f \), définie sur \( \mathbb{R} \).
Sur quels intervalles de \( \mathbb{R} \) la fonction \( f \) est-elle convexe ?
On donnera la réponse sous la forme d'intervalles séparés par des \( \cup \), en incluant les bornes réelles des intervalles.
Par exemple : \( ] -\infty \: ; \: 5 ] \cup [7 \: ; \: 12] \)
Exercice 3 : Calcul de la dérivée première et seconde d'un fonction, puis recherche d'un point d'inflexion
Soit \( f \) la fonction définie sur \( \mathbb{R} \) par \( f(x) = \left(x -2\right)^{5} \). On admet que \( f \) est dérivable deux fois sur cet intervalle.
Calculer la dérivée de \( f \).On écrira la réponse sous la forme \( \{ x_{1}; x_{2} ... \} \). Si \( f \) n'a pas de point d'inflexion, on écrira \( \varnothing \).
Exercice 4 : Étude de la convexité d'une fonction à partir de la courbe de sa première dérivée
Voici la représentation graphique de la dérivée d'une fonction \( f \), définie sur \( \mathbb{R} \).
Sur quels intervalles de \( \mathbb{R} \) la fonction \( f \) est-elle concave ?
On donnera la réponse sous la forme d'intervalles séparés par des \( \cup \), en incluant les bornes réelles des intervalles.
Par exemple : \( ] -\infty \: ; \: 5 ] \cup [7 \: ; \: 12] \)
Exercice 5 : Dérivée seconde et étude de convexité d'une fonction (polynome, racine et racine)
Soit \( f \) la fonction définie sur \( \left]-\infty; - \dfrac{7}{2}\right[ \) par \( f(x) = \sqrt{-2x -7} \). On admet que \( f \) est dérivable deux fois sur son ensemble de définition.