Dérivation, convexité - Spécialité
Convexité : calcul de la dérivée seconde
Exercice 1 : Calculer des dérivées premières et secondes de sommes
Soit \( f \) la fonction définie sur un domaine de définition par \( f(x) = \sqrt{x} -4x^{2} + 3x -4\operatorname{sin}{\left (5x \right )} -5\operatorname{cos}{\left (5x \right )} + 1 \). On admettra que \( f \) est dérivable deux fois sur chaque intervalle contenu dans son domaine de définition.
Donner la dérivée de \( f \).Exercice 2 : Calculer des dérivées premières et secondes de produits (cosinus, sinus, racine carrée, exponentielle, polynôme)
Soit \( f \) la fonction définie sur un domaine de définition par \( f(x) = \dfrac{15}{2}\left(- \operatorname{sin}{\left(2x \right)}\right) \). On admettra que \( f \) est dérivable deux fois sur chaque intervalle contenu dans son domaine de définition.
Exercice 3 : Déterminer une dérivée première et une dérivée seconde (sans fonctions trigonométrique ou logarithmique)
Soit \( I \) un intervalle de \( \mathbb{R} \). Soit \( f \) la fonction définie sur \( I \) par \( f(x) = e^{x}x \). On admettra que \( f \) est dérivable deux fois sur \( I \).
Déterminer l'expression de la dérivée de \( f \) en tout \( x \) de \( I \).Exercice 4 : Calculer des dérivées premières et secondes de produits et quotients (linéraire, cosinus, sinus, racine carrée, exponentielle)
Soit \( f \) la fonction définie sur un domaine de définition par \( f(x) = 10\sqrt{x}e^{- x} \). On admettra que \( f \) est dérivable deux fois sur chaque intervalle contenu dans son domaine de définition.
Exercice 5 : Déterminer une dérivée première et une dérivée seconde
Soit \( I \) un intervalle de \( \mathbb{R} \). Soit \( f \) la fonction définie sur \( I \) par \( f(x) = \operatorname{sin}{\left(x \right)} + \operatorname{cos}{\left(-2x -1 \right)} \). On admettra que \( f \) est dérivable deux fois sur \( I \).
Déterminer l'expression de la dérivée de \( f \) en tout \( x \) de \( I \).