Pour aller plus loin (Ancien programme) - STMG
Les limites et la continuité
Exercice 1 : Limite par encadrement, majoration/minoration d'une fonction rationnelle
Soit f la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par \[f: x \mapsto \dfrac{2x^{2} + 2}{\operatorname{cos}{\left (x -2 \right )} -6}\]
Déterminer la majoration la plus précise de la fonction f pour x suffisamment grand, ne contenant plus de fonction trigonométrique. (on écrira la majoration sous la forme \(f(x) \leq ...\))
Déterminer la majoration la plus précise de la fonction f pour x suffisamment grand, ne contenant plus de fonction trigonométrique. (on écrira la majoration sous la forme \(f(x) \leq ...\))
En déduire \[\lim_{x \to +\infty}{\dfrac{2x^{2} + 2}{\operatorname{cos}{\left (x -2 \right )} -6}}\]
Exercice 2 : Limite par encadrement, majoration/minoration d'un polynôme
Soit f la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par \[f: x \mapsto 6x^{4} -3\operatorname{cos}{\left (5x -9 \right )}\]
Déterminer la minoration la plus précise de la fonction f pour \(x \leq 0\), ne contenant plus de fonction trigonométrique. (on écrira cet encadrement sous la forme \(f(x) \geq ...\))
Déterminer la minoration la plus précise de la fonction f pour \(x \leq 0\), ne contenant plus de fonction trigonométrique. (on écrira cet encadrement sous la forme \(f(x) \geq ...\))
En déduire \[\lim_{x \to -\infty}{6x^{4} -3\operatorname{cos}{\left (5x -9 \right )}}\]
Exercice 3 : Limite d'un quotient polynomial
Déterminer
\[ \lim_{x \to +\infty}{\dfrac{2x^{2} + 5x + 1}{-4x^{3} + 6x^{2} -7x}} \]
Exercice 4 : Limite d'une somme de fonctions
En considérant u et v deux fonctions telles que \[ \lim_{x \to -7}{u(x)} = -3 \] et \[ \lim_{x \to -7}{v(x)} = -\infty \]
Déterminer \[ \lim_{x \to -7}{u(x)+v(x)} \]
Dans le cas d'une forme indéterminée, on écrira : "indéterminée"
Déterminer \[ \lim_{x \to -7}{u(x)+v(x)} \]
Dans le cas d'une forme indéterminée, on écrira : "indéterminée"
Exercice 5 : Limite plus ou moins l'infini d'exponentielle et croissance comparée
Déterminer
\[ \lim_{x \to +\infty}{\left(4x^{2} -7x -1\right)e^{x}} \]