Graphes et matrices - Expert

Soit \(f : x \rightarrow \dfrac{3x^{2} -5x -3}{\left(x + 1\right)\left(x -4\right)\left(x -3\right)}\) définie pour \(x>4\).

L'objectif est d'écrire \(f\) sous la forme :
\(f(x)=\dfrac{a}{x -3}+\dfrac{b}{x -4}+\dfrac{c}{x + 1}\)

Lors d’un spectacle on a vendu des places à \( 13\:\text{€} \) (tarif plein) et des places à \( 12\:\text{€} \) (tarif réduit).
Il y a eu \( 787 \) spectateurs pour une recette de \( 10\:029\:\text{€} \).

On souhaite déterminer le nombre de places vendues en plein tarif et en tarif réduit à l'aide des matrices.
Le système à résoudre est équivalent à l'équation matricielle \( AX = Y \) où \( X \) est le vecteur \( \begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix} \) et \( Y \) le vecteur \( \begin{pmatrix}787\\10\:029\end{pmatrix} \).

Soit P la fonction polynôme définie pour tout réél x par: \[ P(x) = ax^2 + bx + c \] On sait que \[ P(-3) = -10 \] \[ P(4) = 25 \] \[ P(1) = -2 \]Soient 2 matrices, \(X = \begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}\) et \(B = \begin{pmatrix}-10\\25\\-2\end{pmatrix}\).
Déterminer la matrice \(A\) tel que les coefficients de la fonction polynôme P puissent être déterminés par un système écrit sous la forme \( A \times X = B \)

En déduire la fonction polynôme P.
On écrira par exemple: \(2x^2 + 3x + 1\)

Soit le système \(S\) suivant : \[ \begin{cases}-6k - m -2n = -33\\6k - m -6n = 35\\- k + 6m -6n = -42\end{cases} \]Soient 2 matrices, \(X = \begin{pmatrix}k\\m\\n\end{pmatrix}\) et \(B = \begin{pmatrix}-33\\35\\-42\end{pmatrix}\).
Déterminer la matrice \(A\) tel que le système \(S\) puisse s'écrire sous la forme \( A \times X = B \)

En déduire la solution de \(S\).

Soit \(f : x \rightarrow \dfrac{2x^{2} + 8x -10}{\left(x -1\right)\left(x -5\right)\left(x + 5\right)}\) définie pour \(x>5\).

L'objectif est d'écrire \(f\) sous la forme :
\(f(x)=\dfrac{a}{x + 5}+\dfrac{b}{x -1}+\dfrac{c}{x -5}\)