Arithmétique - Expert
Théorème de Fermat
Exercice 1 : Utiliser le théorème de Fermat
Quel est le reste de la division euclidienne de \( 2^{141} \) par \( 139 \) ?
Exercice 2 : Appliquer le théorème de Fermat
Quel est le reste de la division euclidienne de \( 101^{23} \) par \( 23 \) ?
Exercice 3 : Déterminer le chiffre des unités grâce au petit théorème de Fermat
En remarquant que \( 105=4 \times 26 + 1 \), déterminer le reste \( r_{1} \) de la division
euclidienne de \( 7^{105} \) par \( 5 \).
Déterminer le reste \( r_{2} \) de la division euclidienne de \( 7^{105} \) par \( 2 \).
On peut ainsi établir le système suivant : \[ \begin{cases} 7^{105} \equiv r_{1} [5] \\ 7^{105} \equiv r_{2} [2] \end{cases} \]
En remarquant que \( 7^{105} = 2k+r_{2} \), en déduire le reste de la division euclidienne
de \( k \) par \( 5 \).
En déduire le chiffre des unités de \( 7^{105} \).
Exercice 4 : Utiliser le théorème de Fermat
Quel est le reste de la division euclidienne de \( 2^{140} \) par \( 139 \) ?
Exercice 5 : Appliquer le théorème de Fermat
Quel est le reste de la division euclidienne de \( 106^{53} \) par \( 53 \) ?