Arithmétique - Expert
Théorème de Bezout
Exercice 1 : Equation diophantienne (bac 2011)
On se propose de déterminer l’ensemble \(\mathcal{S}\) des entiers relatifs \(n\) vérifiant le système :
\[
\begin{cases}
n \equiv 4 \left[17\right] \\
n \equiv 9 \left[19\right]
\end{cases}
\]
Recherche d’un élément de \(\mathcal{S}\).
On désigne par \(\left(u\ ; \ v \right)\) un couple d’entiers relatifs tel que \[17u + 19v = 1\]
Donner un exemple de couple vérifiant cette égalité.
On écrira la réponse sous la forme \(\left(1\ ; \ 2\right)\)
Dans les 3 prochaines questions, on supposera \(u\) et \(v\) inconnus.
On pose
\[n_0 = 9 \times 17 u + 4 \times 19 v\]
Ecrire \(n_0\) uniquement en fonction de \(u\).
On donnera la réponse sous une forme réduite.
Ecrire \(n_0\) uniquement en fonction de \(v\).
On donnera la réponse sous une forme réduite.
\(n_0\) appartient-il à \(\mathcal{S}\) ?
Que vaut \(n_0\) ? On utilisera le couple \(\left(u\ ; \ v\right)\) trouvé précédemment.
Déduire des questions précédentes une expression de l'ensemble des solutions \(\mathcal{S}\).
On écrira la solution en fonction de \(k\) un entier relatif quelconque.
Zoé sait qu’elle a entre 3031 et 3675 jetons. Si elle fait des tas de 17 jetons, il lui en reste 4. Si
elle fait des tas de 19 jetons, il lui en reste 9.
Combien a-t-elle de jetons ?
Exercice 2 : Equation diophantienne
On se propose de déterminer l’ensemble \(\mathcal{S}\) des entiers relatifs \(\left(x \: ; \: y\right)\)
vérifiant l'équation :
\[ 8x + 16y = 8 \]
Trouver un couple solution de l'équation.
On écrira la réponse sous la forme \(\left(1 \: ; \: 2\right)\)
Déterminer tous les couples d'entiers relatifs \(\left(x \: ; \: y\right)\) solutions de l'équation.
On écrira la réponse sous la forme \(\left(3 + 3k \: ; \: 2 + 2k\right)\), où k est un entier
relatif quelconque
Exercice 3 : Equation diophantienne (bac 2011)
On se propose de déterminer l’ensemble \(\mathcal{S}\) des entiers relatifs \(n\) vérifiant le système :
\[
\begin{cases}
n \equiv 4 \left[5\right] \\
n \equiv 11 \left[17\right]
\end{cases}
\]
Recherche d’un élément de \(\mathcal{S}\).
On désigne par \(\left(u\ ; \ v \right)\) un couple d’entiers relatifs tel que \[5u + 17v = 1\]
Donner un exemple de couple vérifiant cette égalité.
On écrira la réponse sous la forme \(\left(1\ ; \ 2\right)\)
Dans les 3 prochaines questions, on supposera \(u\) et \(v\) inconnus.
On pose
\[n_0 = 11 \times 5 u + 4 \times 17 v\]
Ecrire \(n_0\) uniquement en fonction de \(u\).
On donnera la réponse sous une forme réduite.
Ecrire \(n_0\) uniquement en fonction de \(v\).
On donnera la réponse sous une forme réduite.
\(n_0\) appartient-il à \(\mathcal{S}\) ?
Que vaut \(n_0\) ? On utilisera le couple \(\left(u\ ; \ v\right)\) trouvé précédemment.
Déduire des questions précédentes une expression de l'ensemble des solutions \(\mathcal{S}\).
On écrira la solution en fonction de \(k\) un entier relatif quelconque.
Zoé sait qu’elle a entre 675 et 843 jetons. Si elle fait des tas de 5 jetons, il lui en reste 4. Si
elle fait des tas de 17 jetons, il lui en reste 11.
Combien a-t-elle de jetons ?
Exercice 4 : Equation diophantienne
On se propose de déterminer l’ensemble \(\mathcal{S}\) des entiers relatifs \(\left(x \: ; \: y\right)\)
vérifiant l'équation :
\[ 8x + 16y = 8 \]
Trouver un couple solution de l'équation.
On écrira la réponse sous la forme \(\left(1 \: ; \: 2\right)\)
Déterminer tous les couples d'entiers relatifs \(\left(x \: ; \: y\right)\) solutions de l'équation.
On écrira la réponse sous la forme \(\left(3 + 3k \: ; \: 2 + 2k\right)\), où k est un entier
relatif quelconque
Exercice 5 : Equation diophantienne (bac 2011)
On se propose de déterminer l’ensemble \(\mathcal{S}\) des entiers relatifs \(n\) vérifiant le système :
\[
\begin{cases}
n \equiv 5 \left[11\right] \\
n \equiv 6 \left[13\right]
\end{cases}
\]
Recherche d’un élément de \(\mathcal{S}\).
On désigne par \(\left(u\ ; \ v \right)\) un couple d’entiers relatifs tel que \[11u + 13v = 1\]
Donner un exemple de couple vérifiant cette égalité.
On écrira la réponse sous la forme \(\left(1\ ; \ 2\right)\)
Dans les 3 prochaines questions, on supposera \(u\) et \(v\) inconnus.
On pose
\[n_0 = 6 \times 11 u + 5 \times 13 v\]
Ecrire \(n_0\) uniquement en fonction de \(u\).
On donnera la réponse sous une forme réduite.
Ecrire \(n_0\) uniquement en fonction de \(v\).
On donnera la réponse sous une forme réduite.
\(n_0\) appartient-il à \(\mathcal{S}\) ?
Que vaut \(n_0\) ? On utilisera le couple \(\left(u\ ; \ v\right)\) trouvé précédemment.
Déduire des questions précédentes une expression de l'ensemble des solutions \(\mathcal{S}\).
On écrira la solution en fonction de \(k\) un entier relatif quelconque.
Zoé sait qu’elle a entre 1216 et 1500 jetons. Si elle fait des tas de 11 jetons, il lui en reste 5. Si
elle fait des tas de 13 jetons, il lui en reste 6.
Combien a-t-elle de jetons ?