Variables aléatoires discrètes finies - STI2D/STL

Loi binomiale

Exercice 1 : Probabilité de loi binomiale - lecture énoncé (formule factorielles)

Soit une urne contenant \(3\) boules rouges et \(2\) boules bleues. On effectue \(5\) tirages successifs avec remise dans cette urne.

Quelle est la probabilité de tirer exactement \(3\) boules rouges ?
Donner le résultat sous la forme d'une fraction ou d'un produit de fractions

Exercice 2 : Arbre de probabilités, Tableau et espérance (exercice long)

On s’intéresse à la population masculine du Canada. Nous savons qu'en 2010 il y avait \(16\:869\:134\) hommes et \(17\:147\:459\) femmes.
On sélectionne au hasard \(3\) personnes de ce pays, avec remise et de manière indépendante.
À chaque tirage, on regarde si la personne est un homme ou une femme.

On peut modéliser cette expérience aléatoire par \(n\) épreuves indépendantes de Bernoulli de paramètre \(p\), avec \(S\) le succès, c'est-à-dire que la personne tirée soit un homme, et \(E\) l'échec, c'est-à-dire que la personne tirée ne soit pas un homme.

Calculer le paramètre \(p\) de la loi, la probabilité \(p(S)\) de succès de l'événement \(S\) « la personne tirée est un homme »
On arrondira les résultats à \(10^{-3}\).

On décide donc de modéliser cette épreuve par une loi binomiale, de paramètres \(n = 3\) et \(p\). Dessiner l'arbre de probabilités représentant cette loi.
On arrondira les résultats à \(10^{-3}\).

Compléter le tableau de la loi de probabilité correspondante au nombre de fois où un homme a été tiré.
On réutilisera les valeurs approchées trouvées aux questions précédentes et on arrondira les résultats à \(10^{-3}\).

En déduire l'espérance de cette loi.
On réutilisera les valeurs approchées trouvées aux questions précédentes et on arrondira les résultats à \(10^{-3}\).

Exercice 3 : Probabilité de loi binomiale P(X ≥ 3)

Soit \( X \) une variable aléatoire suivant une loi binomiale de paramètres \(n = 7\) et \(p = \dfrac{3}{4}\).

Calculer \(P\left(X \gt 3\right)\)
On donnera la réponse arrondie à \(10^{-4}\) près.

Exercice 4 : Loi binomiale - Espérance uniquement

Soit B une loi binomiale de paramètres \(p = \dfrac{3}{5} \) et \(n = 8 \).

Quelle est l'espérance de B ?

Exercice 5 : Arbre de probabilités - Dénombrement (2)

Pendant une émission télévisée, le présentateur invite une personne à jouer à pile ou face. Elle parie qu'en 3 lancers, exactement un tombera sur pile. Cependant, la pièce a une probabilité \(p = 0,7\) de tomber sur pile. Les lancers sont indépendants les uns des autres. On décide donc de modéliser cette épreuve par une loi binomiale, de paramètres \(n = 3\) et \(p = 0,7\).Dessiner l'arbre de probabilités représentant cette loi. On notera \(S\) le succès, c'est-à-dire tomber sur pile, et \(E\) l'échec, c'est-à-dire tomber sur face d'une épreuve de Bernoulli de paramètre \(n\).

En déduire la probabilité de gagner le pari.

Revenir au choix du niveau