Suites - Complémentaire

Soit \((v_n)\), la suite définie par \[ (u_n) : \begin{cases} u_3 = 4 \\ \forall n \geq 3, u_{n+1} = 7u_n \end{cases} \] \[ (v_n) : v_n = \sum_{k=3}^{n} u_k \]

On s’intéresse à l’efficacité d’un type de vaccin européen contre la grippe.

Pour l’année \( 2009 \), il y avait \( 280 \) millions de cas de grippe.
Avec ce vaccin, chaque année, le nombre de cas diminue de \( 21 \) millions.

On modélise le nombre de cas annuel par une suite numérique arithmétique \( ( a_n ) \).
On note \( a_0 \) le nombre de cas annuel observés (en millions) en \( 2009 \).
Étant donné un entier naturel \( n \), on note \( a_n \), le nombre de cas annuel (en millions) pendant l’année \( 2009 + n \).
On a donc le premier terme \( a_0 = 280 \).

En dessous d’un certain seuil de nombre de cas, il faudra mettre en place un autre type de vaccin.
Déterminer à partir de quelle année le nombre de cas de grippe sera strictement inférieur à \( 160 \) millions

(Exemple de réponse attendue : \( 2009) \)

Soit \( (u_n) \) une suite arithmétique de premier terme \( u_0=-10 \) et de raison \( r=22 \).

Quel est le sens de variation de cette suite ?

Mohamed décide de suivre un régime amaigrissant qui doit lui permettre de perdre 5 kg par mois. Son poids initial est de 135 kg.
On pose \(v_{0} = 135 \) et on note \(v_{n} \) son poids après \(n\) mois de régime.

Quelle est la nature de la suite ainsi définie ?

Quel est le poids de Mohamed au bout d'un an ?

Compléter la fonction Python suivante qui prend en entrée un entier \(p\) représentant le poids sous lequel Mohamed désire passer, et qui renvoie un entier représentant le nombre de mois pendant lequel il devra suivre son régime pour y arriver si le modèle est correct.

Rémi décide d'acheter un ordinateur portable d'une valeur de 1250 €. Son assureur lui applique une réduction de 17% par an pour vétusté.
On pose \(u_0 = 1250\) et on note \(u_n\) son prix pour son assurance après \(n\) années après l'achat.

Quelle est la nature de la suite ainsi définie ?

Quel est le prix de l'ordinateur pour l'assurance au bout de cinq ans ?
On donnera le résultat arrondi au centime près et on précisera l'unité.

Compléter la fonction Python suivante qui permet de déterminer au bout de combien d'années la valeur de l'ordinateur est inférieure à un seuil \(v\) en paramètre de la fonction.