Probabilités - Complémentaire

Un joueur de football prétend qu'à l'entraînement, il peut marquer un but depuis l'autre bout du terrain \( 23 \) fois sur \( 28 \). On note \( T \) la variable aléatoire égale au nombre de buts marqués dans ce cadre lors d'une série de \( 15 \) essais, les essais étant supposés indépendants les uns des autres.

Quelle est la probabilité que ce joueur marque exactement \( 11 \) buts ?
On donnera un résultat arrondi à \( 10^{-2} \) près.

On rappelle que l'espérance de la loi \( T \) est le nombre moyen de buts que marquerait ce joueur s'il effectuait de nouvelles séries de \( 15 \) essais un grand nombre de fois.

Calculer l'espérance de la loi \( T \).
On donnera un résultat arrondi à \( 10^{-2} \) près.

Soit \( X \) une variable aléatoire suivant une loi binomiale de paramètres \( n = 8 \) et \( p = \dfrac{1}{4} \).

Calculer \( P(X = 3) \)
On donnera la réponse arrondie à \( 10^{-4} \) près.
On donnera la réponse directement, sans préciser à quoi elle correspond.

Soit B une loi binomiale de paramètres \(p = \dfrac{4}{5} \) et \(n = 6 \).

À l'occasion d'un jeu télévisé, une personne essaye de gagner une voiture. Pour cela, elle ne doit tirer aucun ticket vert d'une urne contenant uniquement des tickets rouges et verts, et ce en 3 tirages. Les tirages sont avec remise et indépendants les uns des autres. La probabilité de tirer un ticket vert est de \(p = 0,8\). On décide donc de modéliser cette épreuve par une loi binomiale, de paramètres \(n = 3\) et \(p = 0,8\).Dessiner l'arbre de probabilités représentant cette loi. On notera \(S\) le succès, c'est-à-dire tirer un ticket vert, et \(E\) l'échec, c'est-à-dire tirer un ticket rouge d'une épreuve de Bernoulli de paramètre \(n\).

En déduire la probabilité de gagner la voiture.

Erika et Nicolas jouent à lancer une pièce de monnaie qui a 6 fois plus de chances de tomber sur Pile que sur Face.
En utilisant la formule de l'espérance d'une loi binomiale, estimer le nombre de Pile qu'ils peuvent s'attendre à obtenir après 300 lancers. On arrondira le résultat pour qu'il s'exprime sous la forme d'un entier.