ENVIRONNEMENT DE RECETTE

Probabilités - ST2S/STD2A

Loi de probabilité et variable aléatoire

Exercice 1 : Probabilités - Création d'un tableau à double entrée

Une enquête est réalisée auprès de 9000 familles.
Lors de cette enquête, 90.0 % des familles déclarent ne pas posséder de télévision, 40.0 % des familles déclarent ne pas posséder de voiture et 5.0 % possèdent les deux.
Remplir le tableau d'effectifs.
{"data": [["?", "?", "?"], ["?", "?", "?"], ["?", "?", "?"]], "header_left": ["Poss\u00e9dant une voiture", "Ne poss\u00e9dant pas de voiture", "Total"], "header_top": ["Poss\u00e9dant une t\u00e9l\u00e9vision", "Ne poss\u00e9dant pas de t\u00e9l\u00e9vision", "Total"], "corner_cell": "Nombre de familles"}

Exercice 2 : Arbre de probabilités et interprétation d'énoncé (3 branches)

Un magasin de vêtements a constitué un stock d'un certain type de pantalons venant de trois fabricants \( f_1 \), \( f_2 \) et \( f_3 \).
Certains de ces pantalons présentent un défaut.
10% du stock provient du fabricant \( f_1 \), 15% du stock provient du fabricant \( f_2 \) et le reste du stock provient du fabricant \( f_3 \).
La qualité de la production n'est pas la même selon les fabricants.

Ainsi :
  • 3% des pantalons produits par le fabricant \( f_1 \) sont défectueux.
  • 5% des pantalons produits par le fabricant \( f_2 \) sont défectueux.
  • 9% des pantalons produits par le fabricant \( f_3 \) sont défectueux.
On prélève au hasard un pantalon dans le stock. On considère les événements suivants :
  • \( F_1 \) : « le pantalon a été fabriqué par \( f_1 \) » ;
  • \( F_2 \) : « le pantalon a été fabriqué par \( f_2 \) » ;
  • \( F_3 \) : « le pantalon a été fabriqué par \( f_3 \) » ;
  • \( D \) : « le pantalon est défectueux ».

Pour tout événement \( E \) , on note \( \overline{E} \) l’événement contraire de \( E \), \( p(E) \) la probabilité de \( E \) et, si \( F \) est un événement de probabilité non nulle, on note \( p_F(E) \) la probabilité conditionnelle de \( E \) sachant \( F \).

Donner \( p(F_3) \).
Calculer la probabilité, notée \( p(q2) \), que le pantalon choisi ne soit pas défectueux sachant qu'il a été fabriqué par \( f_2 \) ?
Compléter l’arbre de probabilités donné.
{"F_1": {"D": {"value": " "}, "\\overline{D}": {"value": " "}, "value": " "}, "F_2": {"D": {"value": " "}, "\\overline{D}": {"value": " "}, "value": " "}, "F_3": {"D": {"value": " "}, "\\overline{D}": {"value": " "}, "value": " "}}
Traduire mathématiquement l’événement « le pantalon choisi a été fabriqué par \( f_3 \) et est défectueux »
Calculer sa probabilité, notée \( p(événement) \).

Exercice 3 : Déterminer P(X=N), P(X≤M) et trouver la valeur d'une probabilité inconnue

On considère la loi de probabilité suivante :

\(x_i\)\( -10 \)\( -5 \)\( -4 \)\( -1 \)\( 1 \)\( 5 \)
\( P( X = x_i ) \)\( 0,01 \)\( 0,3 \)\( 0,11 \)\( p \)\( 0,25 \)\( 0,12 \)

Déterminer la probabilité \( P\left(X = 1 \right) \).
On donnera la réponse uniquement.
Déterminer la probabilité \( P\left(X \leq -4 \right) \).
On donnera la réponse uniquement.
Calculer la valeur de \( p \).

Exercice 4 : Déterminer les valeurs prises et la loi de probabilité à partir d'un énoncé (un seul tirage)

On tire une boule d'une urne contenant 15 boules rouges, 15 boules bleues et 3 boules vertes. On gagne 5 € si la boule est rouge, on gagne 1 € si la boule est bleue et sinon on perd 7 €.
On appelle \( G \) la variable aléatoire égale au gain algébrique en euro obtenu en fin de partie.

Donner les valeurs prises par la variable aléatoire \( G \).
(On donnera la liste séparée par des point-virgules. S'il n'y en a aucun, écrire "Aucun" )
Donner la loi de probabilité de \( G \) en complétant le tableaux suivant.
On donnera les valeurs prises par la variable aléatoire dans l'ordre croissant.
{"header_left": ["\\(g_i\\)", "\\(P\\left(G=g_i\\right)\\)"], "data": [["?", "?", "?"], ["?", "?", "?"]]}

Exercice 5 : Loi de probabilités - Tableau à compléter

On étudie un dé truqué suivant la loi de probabilité décrite dans le tableau ci-dessous.
{"header_top": ["Face 1", "Face 2", "Face 3", "Face 4", "Face 5", "Face 6"], "header_left": ["Probabilit\u00e9"], "data": [["3a", "a", "5a", "2a", "\\dfrac{1}{4}", "\\dfrac{1}{3}"]]}
Calculer la valeur de \(a\).
Revenir au choix du niveau
False