Analyse : L'étude la dérivation - Spécialité

Application de la dérivation : Les fonctions quelconques

Exercice 1 : Tableau de variations d'une fonction rationnelle

Compléter le tableau de variations de la fonction suivante : \[ f:x \mapsto \dfrac{-9}{\left(2x -3\right)^{3}} - \dfrac{-9}{\left(2x -3\right)^{2}} \]

Essais restants : 2

Exercice 2 : Retrouver le graphe de la fonction depuis le graphe de la dérivée

Parmi les paires de courbes suivantes, dans quelle(s) situation(s) la courbe de droite peut-elle représenter la dérivée de la fonction représentée par la courbe de gauche ?

A.f'(x):

{"init": {"range": [[-5, 5], [-3, 3]], "scale": [30.0, 33.333333333333336], "hasGraph": true, "axisArrows": "->", "axisOpacity": 0.5, "gridOpacity": 0.1, "gridStep": [1, 1], "tickStep": [1, 1], "labelStep": [1, 100], "xLabel": "", "yLabel": "", "unityLabels": true}, "plot": [["function(x){ return ((((2 + x) <= -7))?(3):(((((2 + x) <= 0.0))?(-0.00874635568513119*Math.pow(2 + x, 3) + 4.95918367346939*Math.pow(1 + 0.111111111111111*x, 2)*(2 + x) + 0.0204081632653061*Math.pow(2 + x, 2)*(11.5714285714286 + 1.28571428571429*x)):(((((2 + x) <= 7.0))?(-0.00291545189504373*Math.pow(2 + x, 3) + 1.53061224489796*Math.pow(1 - 0.2*x, 2)*(2 + x) - 0.0612244897959184*Math.pow(2 + x, 2)*(0.714285714285714 - 0.142857142857143*x)):(-1))))));}", [-5, 5]]]}
f(x):

{"init": {"range": [[-5, 5], [-7, 7]], "scale": [30.0, 14.285714285714286], "hasGraph": true, "axisArrows": "->", "axisOpacity": 0.5, "gridOpacity": 0.1, "gridStep": [1, 1.75], "tickStep": [1, 1], "labelStep": [1, 100], "xLabel": "", "yLabel": "", "unityLabels": true}, "plot": [["function(x){ return 20.75 + ((((x) <= -7))?(3*x):(((((x) <= 0.0))?(-22.75 + 1.5*Math.pow(x, 2) + 0.0196793002915452*Math.pow(x, 4) + 0.346938775510204*Math.pow(x, 3)):(((((x) <= 7.0))?(-22.75 + 1.5*Math.pow(x, 2) + 0.0167638483965015*Math.pow(x, 4) - 0.306122448979592*Math.pow(x, 3)):(-6.99999999999999 - x))))));}", [-5, 5]]]}
B.f'(x):

{"init": {"range": [[-5, 5], [-4, 4]], "scale": [30.0, 25.0], "hasGraph": true, "axisArrows": "->", "axisOpacity": 0.5, "gridOpacity": 0.1, "gridStep": [1, 1], "tickStep": [1, 1], "labelStep": [1, 100], "xLabel": "", "yLabel": "", "unityLabels": true}, "plot": [["function(x){ return ((((-2 + x) <= -7))?(-3):(((((-2 + x) <= -2.0))?(-0.024*Math.pow(-4.44089209850063e-16 - x, 3) + 0.04*Math.pow(-4.44089209850063e-16 - x, 2)*(-9.0 - 1.8*x) + 5.0*Math.pow(1 + 0.2*x, 2)*(-1.11022302462516e-16 - 0.2*x)):(((((-2 + x) <= 7.0))?(0.00411522633744856*Math.pow(x, 3) + 0.111111111111111*Math.pow(x, 2)*(1.0 - 0.111111111111111*x) - 1.0*x*Math.pow(1 - 0.111111111111111*x, 2)):(3))))));}", [-5, 5]]]}
f(x):

{"init": {"range": [[-5, 5], [-4, 4]], "scale": [30.0, 25.0], "hasGraph": true, "axisArrows": "->", "axisOpacity": 0.5, "gridOpacity": 0.1, "gridStep": [1, 1], "tickStep": [1, 1], "labelStep": [1, 100], "xLabel": "", "yLabel": "", "unityLabels": true}, "plot": [["function(x){ return -16.5833333333334 + ((((x) <= -7))?(-3*x):(((((x) <= -2.0))?(11.2046666666667 - 0.022*Math.pow(x, 4) - 5.744*x - 2.548*Math.pow(x, 2) - 0.429333333333333*Math.pow(x, 3)):(((((x) <= 7.0))?(14.3899176954733 + 0.0432098765432099*Math.pow(x, 2) + 0.0699588477366255*Math.pow(x, 3) - 0.831275720164609*x - 0.0051440329218107*Math.pow(x, 4)):(1.33333333333336 + 3*x))))));}", [-5, 5]]]}
C.f'(x):

{"init": {"range": [[-5, 5], [-4, 4]], "scale": [30.0, 25.0], "hasGraph": true, "axisArrows": "->", "axisOpacity": 0.5, "gridOpacity": 0.1, "gridStep": [1, 1], "tickStep": [1, 1], "labelStep": [1, 100], "xLabel": "", "yLabel": "", "unityLabels": true}, "plot": [["function(x){ return ((((x) <= -7))?(-3):(((((x) <= 0.0))?(0.00874635568513119*Math.pow(x, 3) + 2.0*x*Math.pow(1.0 + 0.142857142857143*x, 2) + 0.0204081632653061*Math.pow(x, 2)*(-9.0 - 1.28571428571429*x)):(((((x) <= 7.0))?(0.00291545189504373*Math.pow(x, 3) + 0.0612244897959184*Math.pow(x, 2)*(1 - 0.142857142857143*x) + 2.0*x*Math.pow(1 - 0.142857142857143*x, 2)):(1))))));}", [-5, 5]]]}
f(x):

{"init": {"range": [[-5, 5], [-12, 12]], "scale": [30.0, 8.333333333333334], "hasGraph": true, "axisArrows": "->", "axisOpacity": 0.5, "gridOpacity": 0.1, "gridStep": [1, 3.0], "tickStep": [1, 1], "labelStep": [1, 100], "xLabel": "", "yLabel": "", "unityLabels": true}, "plot": [["function(x){ return -3.33333333333333 + ((((x) <= -7))?(-3*x):(((((x) <= 0.0))?(2.33333333333333 + 1.0*Math.pow(x, 2) + 0.129251700680272*Math.pow(x, 3) + 0.00583090379008746*Math.pow(x, 4)):(((((x) <= 7.0))?(2.33333333333333 + 0.00874635568513119*Math.pow(x, 4) + 1.0*Math.pow(x, 2) - 0.170068027210884*Math.pow(x, 3)):(6.99999999999999 + x))))));}", [-5, 5]]]}
D.f'(x):

{"init": {"range": [[-5, 5], [-6, 6]], "scale": [30.0, 16.666666666666668], "hasGraph": true, "axisArrows": "->", "axisOpacity": 0.5, "gridOpacity": 0.1, "gridStep": [1, 1.5], "tickStep": [1, 1], "labelStep": [1, 100], "xLabel": "", "yLabel": "", "unityLabels": true}, "plot": [["function(x){ return -2 + ((((x) <= -7))?(1):(((((x) <= 2.0))?(0.0109739368998628*Math.pow(1 - 0.5*x, 3) + 16.3333333333333*Math.pow(1 + 0.142857142857143*x, 2)*(0.222222222222222 - 0.111111111111111*x) + 0.0493827160493828*Math.pow(1 - 0.5*x, 2)*(2.33333333333333 + 0.333333333333333*x)):(((((x) <= 7.0))?(-0.192*Math.pow(-1 + 0.5*x, 3) + 1.96*Math.pow(1 - 0.142857142857143*x, 2)*(6.0 - 3.0*x) - 1.44*Math.pow(-1 + 0.5*x, 2)*(1.4 - 0.2*x)):(-3))))));}", [-5, 5]]]}
f(x):

{"init": {"range": [[-5, 5], [-22, 22]], "scale": [30.0, 4.545454545454546], "hasGraph": true, "axisArrows": "->", "axisOpacity": 0.5, "gridOpacity": 0.1, "gridStep": [1, 5.5], "tickStep": [1, 1], "labelStep": [1, 100], "xLabel": "", "yLabel": "", "unityLabels": true}, "plot": [["function(x){ return -16.75 + ((((x) <= -7))?(x):(((((x) <= 2.0))?(13.2918381344307 + 3.75582990397805*x - 0.00857338820301783*Math.pow(x, 4) - 0.141289437585734*Math.pow(x, 3) - 0.446502057613168*Math.pow(x, 2)):(((((x) <= 7.0))?(9.22199999999999 + 0.424*Math.pow(x, 3) + 9.936*x - 3.612*Math.pow(x, 2) - 0.018*Math.pow(x, 4)):(25.0 - 3*x))))));}", [-5, 5]]]}

Exercice 3 : Retrouver le graphe de la dérivée depuis le graphe de la fonction

Observer les couples de courbes suivants.
Indiquer dans quels cas \(f'(x)\) peut représenter la dérivée de \(f(x)\).

A.\(f(x)\):

{"init": {"range": [[-5, 5], [-14, 14]], "scale": [30.0, 7.142857142857143], "hasGraph": true, "axisArrows": "->", "axisOpacity": 0.5, "gridOpacity": 0.1, "gridStep": [1, 3.5], "tickStep": [1, 1], "labelStep": [1, 100], "xLabel": "", "yLabel": "", "unityLabels": true}, "plot": [["function(x){ return 19.75 + ((((x) <= -7))?(x):(((((x) <= 0.0))?(-15.75 + 1.5*Math.pow(x, 2) + 0.0167638483965015*Math.pow(x, 4) + 0.306122448979592*Math.pow(x, 3)):(((((x) <= 7.0))?(-15.75 + 1.5*Math.pow(x, 2) + 0.0182215743440233*Math.pow(x, 4) - 0.326530612244898*Math.pow(x, 3)):(3.49999999999999 - 2*x))))));}", [-5, 5]]]}
\(f'(x)\):

{"init": {"range": [[-5, 5], [-3, 3]], "scale": [30.0, 33.333333333333336], "hasGraph": true, "axisArrows": "->", "axisOpacity": 0.5, "gridOpacity": 0.1, "gridStep": [1, 1], "tickStep": [1, 1], "labelStep": [1, 100], "xLabel": "", "yLabel": "", "unityLabels": true}, "plot": [["function(x){ return ((((x) <= -7))?(1):(((((x) <= 0.0))?(-0.00291545189504373*Math.pow(x, 3) + 3.0*x*Math.pow(1.0 + 0.142857142857143*x, 2) + 0.0204081632653061*Math.pow(x, 2)*(3.0 + 0.428571428571429*x)):(((((x) <= 7.0))?(-0.00583090379008746*Math.pow(x, 3) + 3.0*x*Math.pow(1 - 0.142857142857143*x, 2) - 0.122448979591837*Math.pow(x, 2)*(1 - 0.142857142857143*x)):(-2))))));}", [-5, 5]]]}
B.\(f(x)\):

{"init": {"range": [[-5, 5], [-25, 25]], "scale": [30.0, 4.0], "hasGraph": true, "axisArrows": "->", "axisOpacity": 0.5, "gridOpacity": 0.1, "gridStep": [1, 6.25], "tickStep": [1, 1], "labelStep": [1, 100], "xLabel": "", "yLabel": "", "unityLabels": true}, "plot": [["function(x){ return 20.3333333333333 + ((((x) <= -7))?(-x):(((((x) <= 1.0))?(-16.6363932291667 + 0.0146484375*Math.pow(x, 4) + 1.134765625*Math.pow(x, 2) + 0.259114583333333*Math.pow(x, 3) - 3.10546875*x):(((((x) <= 7.0))?(-15.9212962962963 + 0.0231481481481481*Math.pow(x, 4) + 3.30555555555556*Math.pow(x, 2) - 5.25925925925926*x - 0.481481481481481*Math.pow(x, 3)):(-14.3333333333334 + 2*x))))));}", [-5, 5]]]}
\(f'(x)\):

{"init": {"range": [[-5, 5], [-7, 7]], "scale": [30.0, 14.285714285714286], "hasGraph": true, "axisArrows": "->", "axisOpacity": 0.5, "gridOpacity": 0.1, "gridStep": [1, 1.75], "tickStep": [1, 1], "labelStep": [1, 100], "xLabel": "", "yLabel": "", "unityLabels": true}, "plot": [["function(x){ return 2 + ((((x) <= -7))?(-1):(((((x) <= 1.0))?(-1.0*Math.pow(0.125 - 0.125*x, 3) + Math.pow(0.125 - 0.125*x, 2)*(-2.625 - 0.375*x) - 32.0*Math.pow(0.875 + 0.125*x, 2)*(0.125 - 0.125*x)):(((((x) <= 7.0))?(2.0*Math.pow(-0.166666666666667 + 0.166666666666667*x, 3) + Math.pow(1.16666666666667 - 0.166666666666667*x, 2)*(-4.0 + 4.0*x) + 6.0*Math.pow(-0.166666666666667 + 0.166666666666667*x, 2)*(1.16666666666667 - 0.166666666666667*x)):(2))))));}", [-5, 5]]]}
C.\(f(x)\):

{"init": {"range": [[-5, 5], [-7, 7]], "scale": [30.0, 14.285714285714286], "hasGraph": true, "axisArrows": "->", "axisOpacity": 0.5, "gridOpacity": 0.1, "gridStep": [1, 1.75], "tickStep": [1, 1], "labelStep": [1, 100], "xLabel": "", "yLabel": "", "unityLabels": true}, "plot": [["function(x){ return -19.3333333333333 + ((((x) <= -7))?(-3*x):(((((x) <= 1.0))?(13.9567057291667 + 0.63671875*x - 0.0068359375*Math.pow(x, 4) - 0.150390625*Math.pow(x, 2) - 0.102864583333333*Math.pow(x, 3)):(((((x) <= 7.0))?(13.6550925925926 + 1.5462962962963*x + 0.212962962962963*Math.pow(x, 3) - 1.06944444444444*Math.pow(x, 2) - 0.0115740740740741*Math.pow(x, 4)):(3.33333333333333 + 2*x))))));}", [-5, 5]]]}
\(f'(x)\):

{"init": {"range": [[-5, 5], [-2, 2]], "scale": [30.0, 50.0], "hasGraph": true, "axisArrows": "->", "axisOpacity": 0.5, "gridOpacity": 0.1, "gridStep": [1, 1], "tickStep": [1, 1], "labelStep": [1, 100], "xLabel": "", "yLabel": "", "unityLabels": true}, "plot": [["function(x){ return ((((1 + x) <= -7))?(-3):(((((1 + x) <= 1.0))?(0.005859375*Math.pow(x, 3) + 0.015625*Math.pow(x, 2)*(-9.0 - 1.125*x) - 1.0*x*Math.pow(1.0 + 0.125*x, 2)):(((((1 + x) <= 7.0))?(0.00925925925925926*Math.pow(x, 3) + 0.166666666666667*Math.pow(x, 2)*(1.0 - 0.166666666666667*x) - 1.0*x*Math.pow(1.0 - 0.166666666666667*x, 2)):(2))))));}", [-5, 5]]]}
D.\(f(x)\):

{"init": {"range": [[-5, 5], [-19, 19]], "scale": [30.0, 5.2631578947368425], "hasGraph": true, "axisArrows": "->", "axisOpacity": 0.5, "gridOpacity": 0.1, "gridStep": [1, 4.75], "tickStep": [1, 1], "labelStep": [1, 100], "xLabel": "", "yLabel": "", "unityLabels": true}, "plot": [["function(x){ return -3.74999999999997 + ((((x) <= -7))?(-2*x):(((((x) <= -2.0))?(11.662 + 10.544*x + 0.022*Math.pow(x, 4) + 3.948*Math.pow(x, 2) + 0.496*Math.pow(x, 3)):(((((x) <= 7.0))?(7.20816186556925 + 0.00857338820301783*Math.pow(x, 4) + 0.446502057613169*Math.pow(x, 2) + 3.75582990397805*x - 0.141289437585734*Math.pow(x, 3)):(20.5 + x))))));}", [-5, 5]]]}
\(f'(x)\):

{"init": {"range": [[-5, 5], [-5, 5]], "scale": [30.0, 20.0], "hasGraph": true, "axisArrows": "->", "axisOpacity": 0.5, "gridOpacity": 0.1, "gridStep": [1, 1.25], "tickStep": [1, 1], "labelStep": [1, 100], "xLabel": "", "yLabel": "", "unityLabels": true}, "plot": [["function(x){ return ((((1 + x) <= -7))?(-2):(((((1 + x) <= -2.0))?(-2.0*Math.pow(-0.6 - 0.2*x, 3) + Math.pow(-0.6 - 0.2*x, 2)*(-9.6 - 1.2*x) - 15.0*Math.pow(1.6 + 0.2*x, 2)*(-0.6 - 0.2*x)):(((((1 + x) <= 7.0))?(1.0*Math.pow(0.333333333333333 + 0.111111111111111*x, 3) + Math.pow(0.666666666666667 - 0.111111111111111*x, 2)*(9.0 + 3.0*x) + 3.0*Math.pow(0.333333333333333 + 0.111111111111111*x, 2)*(0.666666666666667 - 0.111111111111111*x)):(1))))));}", [-5, 5]]]}

Exercice 4 : Etablir le tableau de signes de la dérivée à partir du tableau de variations de la fonction

{"n_intervals": 1, "signe": ["-"], "signe_values": [], "edges": ["-\\infty", "+\\infty"], "has_edges": false, "left_signe_value": false, "right_signe_value": false, "variations": ["-"], "variations_values": ["+\\infty", "-\\infty"]}

À partir du tableau de variations de la fonction \(f\) ci dessus, remplir le tableau de signes de la fonction dérivée de \(f\), notée \(f'\).

Essais restants : 2

Exercice 5 : Tableau de variations d'une fonction (ax + b) * (cx + d) ou (ax + b) / (cx + d)

Compléter le tableau de variations de la fonction suivante : \[ f:x \mapsto \left(-4x + 6\right)\left(-5x + 4\right) \]

Essais restants : 2

Revenir au choix du niveau