Probabilités - STI2D/STL

Loi de probabilité et variable aléatoire

Exercice 1 : Déterminer les valeurs prises et la loi de probabilité à partir d'un énoncé (deux tirages avec remise)

On tire successivement et avec remise deux cartes dans un jeu de 32 cartes. À chaque tirage, on gagne 5 € si la carte est rouge, on gagne 8 € si la carte est un trèfle, et on perd 4 € dans les autres cas.
On appelle \( G \) la variable aléatoire égale au gain algébrique en euro obtenu en fin de partie.

Donner les valeurs prises par la variable aléatoire \( G \).
On donnera la liste séparée par des point-virgules. S'il n'y en a aucun, écrire Aucun.

Donner la loi de probabilité de \( G \) en complétant le tableau suivant.
On donnera les valeurs prises par la variable aléatoire dans l'ordre croissant.

Exercice 2 : Test d'hypothèse pourcentage de population ayant une maladie

On fait l'hypothèse qu'une maladie touche \( 20 \)% de la population.
Afin de tester cette hypothèse, on évalue le cas de \( 500 \) personnes dans la population et on trouve que \( 22 \)% de ces personnes sont touchées par la maladie.

Doit-on rejeter l'hypothèse que \( 20 \)% de la population est malade, au risque d'erreur de \( 5 \)% ?

Exercice 3 : Calcul de probabilités simples à partir d'un tableau à double entrée

Soit le tableau à double entrée suivant:

{"header_top": ["\\(A\\)", "\\(\\overline{A}\\)", "Total"], "header_left": ["\\(B\\)", "\\(\\overline{B}\\)", "Total"], "data": [["?", 26, 40], [24, 23, "?"], [38, "?", "?"]]}

Calculer la probabilité \(P(B \cap A)\). On donnera la réponse sous la forme d'une fraction.

Exercice 4 : Arbre de probabilités et interprétation d'énoncé (3 branches)

Un magasin de vêtements a constitué un stock d'un certain type de pantalons venant de trois fabricants \( f_1 \), \( f_2 \) et \( f_3 \).
Certains de ces pantalons présentent un défaut.
25% du stock provient du fabricant \( f_1 \), 35% du stock provient du fabricant \( f_2 \) et le reste du stock provient du fabricant \( f_3 \).
La qualité de la production n'est pas la même selon les fabricants.

Ainsi :

1% des pantalons produits par le fabricant \( f_1 \) sont défectueux.
4% des pantalons produits par le fabricant \( f_2 \) sont défectueux.
9% des pantalons produits par le fabricant \( f_3 \) sont défectueux.

On prélève au hasard un pantalon dans le stock. On considère les événements suivants :

\( F_1 \) : « le pantalon a été fabriqué par \( f_1 \) » ;
\( F_2 \) : « le pantalon a été fabriqué par \( f_2 \) » ;
\( F_3 \) : « le pantalon a été fabriqué par \( f_3 \) » ;
\( D \) : « le pantalon est défectueux ».

Pour tout événement \( E \) , on note \( \overline{E} \) l’événement contraire de \( E \), \( p(E) \) la probabilité de \( E \) et, si \( F \) est un événement de probabilité non nulle, on note \( p_F(E) \) la probabilité conditionnelle de \( E \) sachant \( F \).

Donner \( p(F_2) \).

Calculer la probabilité, notée \( p(q2) \), que le pantalon choisi soit défectueux sachant qu'il a été fabriqué par \( f_1 \) ?

Compléter l’arbre de probabilités donné.

Traduire mathématiquement l’événement « le pantalon choisi a été fabriqué par \( f_1 \) et n'est pas défectueux »

Calculer sa probabilité, notée \( p(événement) \).

Exercice 5 : Retrouver une loi aléatoire à partir d'une simulation Python

La fonction simul définie en Python simule une loi de probabilité \( X \), en utilisant une fonction randint qui prend deux entiers \( a\text{, }b \) en paramètres et renvoie un entier aléatoire \( r \) tel que \( a \le r \le b \) .

from random import randint
def simul():
     alea = randint(1, 50)
     if alea <= 13:
          return -3
     if alea >= 17:
          return 1
     return 2

Donner la loi de probabilité de \( X \) en complétant le tableau suivant.
On donnera les valeurs prises par la variable aléatoire dans l'ordre croissant.

Quelle est l'espérance de cette loi de probabilité ?
On donnera la réponse sous la forme d'un entier ou d'une fraction simplifiée.

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