Analyse : Dérivation et applications - STI2D/STL
Sens de variation
Exercice 1 : Tableau de variations guidé d'une fonction polynôme de degré 3
Soit \(f\) la fonction définie sur \(\left[-5; 5\right]\) par \( f(x) = -36x + 2x^{3} + 3x^{2} + 4 \)
Calculer \(f'(x)\)
Trouver le couple \( (g,h) \) tel que pour tout \(x\) de \(\left[-5; 5\right]\) \( f'(x) = 6g(x)h(x) \)
Déterminer le tableau de signes de \(g\) sur \(\left[-5; 5\right]\)
Déterminer le tableau de signes de \(h\) sur \(\left[-5; 5\right]\)
En déduire le tableau de variations de \(f\) sur \(\left[-5; 5\right]\)
Exercice 2 : Utilisation de la dérivation pour déterminer un bénéfice
Un producteur de cerises cultive, ramasse et conditionne entre 0 et
65 kg de ce produit par semaine durant la période de production
des cerises. On désigne par \( B(x) \) le bénéfice hebdomadaire, en
euros, réalisé par la vente de \( x \) kg de cerises.
La fonction \( B \) est définie sur \( \left[0; 65\right] \) par :
\[ B(x) = -120x^{2} + 2x^{3} + 2250x -1 \]
Trouver le couple \( (f,g) \) tel que, pour tout \( x \) de \( \left[0; 65\right] \), \( B'(x) = 6f(x)g(x) \)
Déterminer le tableau de signes de \( f \) sur \( \left[0; 65\right] \)
Déterminer le tableau de signes de \( g \) sur \( \left[0; 65\right] \).
En déduire le tableau de variations de \( B \) sur \( \left[0; 65\right] \).
Pour quelle quantité de cerises le bénéfice du producteur est-il maximal ?
À combien s'élève ce bénéfice ?
Exercice 3 : Etablir le tableau de signes de la dérivée à partir du tableau de variations de la fonction
{"n_intervals": 2, "signe": ["-", "+"], "signe_values": [0], "edges": ["-\\infty", "-0,17", "+\\infty"], "has_edges": false, "left_signe_value": false, "right_signe_value": false, "variations": ["-", "+"], "variations_values": ["+\\infty", "-3,25", "+\\infty"]}
À partir du tableau de variations de la fonction \(f\) ci dessus, remplir le tableau de signes de la fonction dérivée de \(f\), notée \(f'\).
Exercice 4 : Étude détaillée d'un polynôme de degré 3 (version simplifiée)
Soit \(f\) une fonction définie pour tout nombre réel \(x\) de l'intervalle
\(\left[-10; -3\right]\) par :
\[f: x \mapsto -3x^{3} -63x^{2} -441x\]
On notera \(f'\) la fonction dérivée de la fonction \(f\).Déterminer pour tout \(x\) appartenant à l'intervalle \(\left[-10; -3\right]\),
l'expression de \(f'(x)\).
Parmi les expressions ci-dessous, laquelle correspond à \(f'(x)\) pour
tout \(x\) de l'intervalle \(\left[-10; -3\right]\) ?
Étudier le signe de \(f'\) pour tout \(x\) appartenant à l'intervalle
\(\left[-10; -3\right]\).
En déduire le tableau de variations de la fonction \(f\) sur l'intervalle
\(\left[-10; -3\right]\).
Exercice 5 : Tableau de variations de kx², sur [0; 5]
Établir le tableau de variations de la fonction \(f: x \mapsto 4x^{2}\), sur l'intervalle \(\left[0; 3\right]\).