Variation globale : Fonction dérivée - Enseignement scientifique
Variations d'une fonction
Exercice 1 : Utilisation de la dérivation pour déterminer un bénéfice
Un producteur de cerises cultive, ramasse et conditionne entre 0 et
45 kg de ce produit par semaine durant la période de production
des cerises. On désigne par \( B(x) \) le bénéfice hebdomadaire, en
euros, réalisé par la vente de \( x \) kg de cerises.
La fonction \( B \) est définie sur \( \left[0; 45\right] \) par :
\[ B(x) = -105x^{2} + 2x^{3} + 900x -3 \]
Calculer \( B'(x) \)
Trouver le couple \( (f,g) \) tel que, pour tout \( x \) de \( \left[0; 45\right] \), \( B'(x) = 6f(x)g(x) \)
Déterminer le tableau de signes de \( f \) sur \( \left[0; 45\right] \)
Déterminer le tableau de signes de \( g \) sur \( \left[0; 45\right] \).
En déduire le tableau de variations de \( B \) sur \( \left[0; 45\right] \).
Pour quelle quantité de cerises le bénéfice du producteur est-il maximal ?
À combien s'élève ce bénéfice ?
Exercice 2 : Étude détaillée d'un polynôme de degré 3
Soit \(f\) une fonction de degré 3 :
\[f: x \mapsto -30x - \dfrac{1}{2}x^{2} + \dfrac{1}{3}x^{3}\]Déterminer \(f'(x)\)
Étudier le signe de \(f'\)
Dresser le tableau de variations de \(f\) sur \(\left[-10; 10\right]\).
Exercice 3 : Retrouver le graphe de la dérivée depuis le graphe de la fonction
Observer les couples de courbes suivants.
Indiquer dans quels cas \(f'(x)\) peut représenter la dérivée de \(f(x)\).
- A.\(f(x)\):
{"init": {"range": [[-5, 5], [-11, 11]], "scale": [30.0, 9.090909090909092], "hasGraph": true, "axisArrows": "->", "axisOpacity": 0.5, "gridOpacity": 0.1, "gridStep": [1, 2.75], "tickStep": [1, 1], "labelStep": [1, 100], "xLabel": "", "yLabel": "", "unityLabels": true}, "plot": [["function(x){ return 7.83333333333334 + ((((x) <= -7))?(2*x):(((((x) <= -2.0))?(-10.5186666666667 - 0.282666666666667*Math.pow(x, 3) - 0.012*Math.pow(x, 4) - 6.624*x - 2.408*Math.pow(x, 2)):(((((x) <= 7.0))?(-7.83470507544582 + 0.0919067215363512*Math.pow(x, 3) - 0.316872427983539*Math.pow(x, 2) - 2.54595336076818*x - 0.00548696844993141*Math.pow(x, 4)):(-15.8333333333333 - x))))));}", [-5, 5]]]}
\(f'(x)\):
{"init": {"range": [[-5, 5], [-3, 3]], "scale": [30.0, 33.333333333333336], "hasGraph": true, "axisArrows": "->", "axisOpacity": 0.5, "gridOpacity": 0.1, "gridStep": [1, 1], "tickStep": [1, 1], "labelStep": [1, 100], "xLabel": "", "yLabel": "", "unityLabels": true}, "plot": [["function(x){ return ((((x) <= -7))?(2):(((((x) <= -2.0))?(2.0*Math.pow(-0.4 - 0.2*x, 3) + Math.pow(-0.4 - 0.2*x, 2)*(8.4 + 1.2*x) + 10.0*Math.pow(1.4 + 0.2*x, 2)*(-0.4 - 0.2*x)):(((((x) <= 7.0))?(-1.0*Math.pow(0.222222222222222 + 0.111111111111111*x, 3) + Math.pow(0.777777777777778 - 0.111111111111111*x, 2)*(-4.0 - 2.0*x) - 3.0*Math.pow(0.222222222222222 + 0.111111111111111*x, 2)*(0.777777777777778 - 0.111111111111111*x)):(-1))))));}", [-5, 5]]]}
- B.\(f(x)\):
{"init": {"range": [[-5, 5], [-8, 8]], "scale": [30.0, 12.5], "hasGraph": true, "axisArrows": "->", "axisOpacity": 0.5, "gridOpacity": 0.1, "gridStep": [1, 2.0], "tickStep": [1, 1], "labelStep": [1, 100], "xLabel": "", "yLabel": "", "unityLabels": true}, "plot": [["function(x){ return 14.0000000000001 + ((((x) <= -7))?(2*x):(((((x) <= -1.0))?(-15.0856481481482 + 2.81944444444444*Math.pow(x, 2) + 4.26851851851851*x + 0.025462962962963*Math.pow(x, 4) + 0.490740740740741*Math.pow(x, 3)):(((((x) <= 7.0))?(-15.7675781250001 + 0.013671875*Math.pow(x, 4) + 0.73828125*Math.pow(x, 2) + 2.2109375*x - 0.2265625*Math.pow(x, 3)):(4.99999999999994 - 2*x))))));}", [-5, 5]]]}
\(f'(x)\):
{"init": {"range": [[-5, 5], [-4, 4]], "scale": [30.0, 25.0], "hasGraph": true, "axisArrows": "->", "axisOpacity": 0.5, "gridOpacity": 0.1, "gridStep": [1, 1], "tickStep": [1, 1], "labelStep": [1, 100], "xLabel": "", "yLabel": "", "unityLabels": true}, "plot": [["function(x){ return ((((x) <= -7))?(2):(((((x) <= -1.0))?(2.0*Math.pow(-0.166666666666667 - 0.166666666666667*x, 3) + Math.pow(-0.166666666666667 - 0.166666666666667*x, 2)*(7.0 + 1.0*x) - 18.0*Math.pow(1.16666666666667 + 0.166666666666667*x, 2)*(-0.166666666666667 - 0.166666666666667*x)):(((((x) <= 7.0))?(-2.0*Math.pow(0.125 + 0.125*x, 3) + Math.pow(0.875 - 0.125*x, 2)*(3.0 + 3.0*x) - 6.0*Math.pow(0.125 + 0.125*x, 2)*(0.875 - 0.125*x)):(-2))))));}", [-5, 5]]]}
- C.\(f(x)\):
{"init": {"range": [[-5, 5], [-14, 14]], "scale": [30.0, 7.142857142857143], "hasGraph": true, "axisArrows": "->", "axisOpacity": 0.5, "gridOpacity": 0.1, "gridStep": [1, 3.5], "tickStep": [1, 1], "labelStep": [1, 100], "xLabel": "", "yLabel": "", "unityLabels": true}, "plot": [["function(x){ return 3.33333333333333 + ((((x) <= -7))?(-2*x):(((((x) <= 3.0))?(-0.971833333333334 + 0.0286666666666667*Math.pow(x, 3) + 0.161*Math.pow(x, 2) + 0.0015*Math.pow(x, 4) - 1.902*x):(((((x) <= 7.0))?(3.61197916666667 + 0.0078125*Math.pow(x, 4) + 1.859375*Math.pow(x, 2) - 6.65625*x - 0.197916666666667*Math.pow(x, 3)):(-7.99999999999999 + x))))));}", [-5, 5]]]}
\(f'(x)\):
{"init": {"range": [[-5, 5], [-3, 3]], "scale": [30.0, 33.333333333333336], "hasGraph": true, "axisArrows": "->", "axisOpacity": 0.5, "gridOpacity": 0.1, "gridStep": [1, 1], "tickStep": [1, 1], "labelStep": [1, 100], "xLabel": "", "yLabel": "", "unityLabels": true}, "plot": [["function(x){ return ((((x) <= -7))?(-2):(((((x) <= 3.0))?(-2.0*Math.pow(0.3 - 0.1*x, 3) + Math.pow(0.3 - 0.1*x, 2)*(-4.2 - 0.6*x) - 10.0*Math.pow(0.7 + 0.1*x, 2)*(0.3 - 0.1*x)):(((((x) <= 7.0))?(1.0*Math.pow(-0.75 + 0.25*x, 3) + Math.pow(1.75 - 0.25*x, 2)*(-3.0 + 1.0*x) + 3.0*Math.pow(-0.75 + 0.25*x, 2)*(1.75 - 0.25*x)):(1))))));}", [-5, 5]]]}
- D.\(f(x)\):
{"init": {"range": [[-5, 5], [-15, 15]], "scale": [30.0, 6.666666666666667], "hasGraph": true, "axisArrows": "->", "axisOpacity": 0.5, "gridOpacity": 0.1, "gridStep": [1, 3.75], "tickStep": [1, 1], "labelStep": [1, 100], "xLabel": "", "yLabel": "", "unityLabels": true}, "plot": [["function(x){ return 10.8333333333333 + ((((x) <= -7))?(-x):(((((x) <= 0.0))?(-12.8333333333333 + 0.0189504373177843*Math.pow(x, 4) + 2.0*Math.pow(x, 2) + 0.360544217687075*Math.pow(x, 3)):(((((x) <= 7.0))?(-12.8333333333333 + 0.0174927113702624*Math.pow(x, 4) + 2.0*Math.pow(x, 2) - 0.340136054421769*Math.pow(x, 3)):(-3.5 + 2*x))))));}", [-5, 5]]]}
\(f'(x)\):
{"init": {"range": [[-5, 5], [-6, 6]], "scale": [30.0, 16.666666666666668], "hasGraph": true, "axisArrows": "->", "axisOpacity": 0.5, "gridOpacity": 0.1, "gridStep": [1, 1.5], "tickStep": [1, 1], "labelStep": [1, 100], "xLabel": "", "yLabel": "", "unityLabels": true}, "plot": [["function(x){ return -1 + ((((x) <= -7))?(-1):(((((x) <= 0.0))?(0.00291545189504373*Math.pow(x, 3) + 4.0*x*Math.pow(1.0 + 0.142857142857143*x, 2) + 0.0204081632653061*Math.pow(x, 2)*(-3.0 - 0.428571428571429*x)):(((((x) <= 7.0))?(0.00583090379008746*Math.pow(x, 3) + 0.122448979591837*Math.pow(x, 2)*(1 - 0.142857142857143*x) + 4.0*x*Math.pow(1 - 0.142857142857143*x, 2)):(2))))));}", [-5, 5]]]}
Exercice 4 : Retrouver le graphe de la fonction depuis le graphe de la dérivée
Parmi les paires de courbes suivantes, dans quelle(s) situation(s) la courbe de droite peut-elle
représenter la dérivée de la fonction représentée par la courbe de gauche ?
- A.f'(x):
{"init": {"range": [[-5, 5], [-7, 7]], "scale": [30.0, 14.285714285714286], "hasGraph": true, "axisArrows": "->", "axisOpacity": 0.5, "gridOpacity": 0.1, "gridStep": [1, 1.75], "tickStep": [1, 1], "labelStep": [1, 100], "xLabel": "", "yLabel": "", "unityLabels": true}, "plot": [["function(x){ return 2 + ((((x) <= -7))?(-1):(((((x) <= 0.0))?(0.00291545189504373*Math.pow(x, 3) + 4.0*x*Math.pow(1.0 + 0.142857142857143*x, 2) + 0.0204081632653061*Math.pow(x, 2)*(-3.0 - 0.428571428571429*x)):(((((x) <= 7.0))?(0.00583090379008746*Math.pow(x, 3) + 0.122448979591837*Math.pow(x, 2)*(1 - 0.142857142857143*x) + 4.0*x*Math.pow(1 - 0.142857142857143*x, 2)):(2))))));}", [-5, 5]]]}
f(x):
{"init": {"range": [[-5, 5], [-21, 21]], "scale": [30.0, 4.761904761904762], "hasGraph": true, "axisArrows": "->", "axisOpacity": 0.5, "gridOpacity": 0.1, "gridStep": [1, 5.25], "tickStep": [1, 1], "labelStep": [1, 100], "xLabel": "", "yLabel": "", "unityLabels": true}, "plot": [["function(x){ return 16.8333333333333 + ((((x) <= -7))?(-x):(((((x) <= 0.0))?(-12.8333333333333 + 0.0189504373177843*Math.pow(x, 4) + 2.0*Math.pow(x, 2) + 0.360544217687075*Math.pow(x, 3)):(((((x) <= 7.0))?(-12.8333333333333 + 0.0174927113702624*Math.pow(x, 4) + 2.0*Math.pow(x, 2) - 0.340136054421769*Math.pow(x, 3)):(-3.5 + 2*x))))));}", [-5, 5]]]}
- B.f'(x):
{"init": {"range": [[-5, 5], [-4, 4]], "scale": [30.0, 25.0], "hasGraph": true, "axisArrows": "->", "axisOpacity": 0.5, "gridOpacity": 0.1, "gridStep": [1, 1], "tickStep": [1, 1], "labelStep": [1, 100], "xLabel": "", "yLabel": "", "unityLabels": true}, "plot": [["function(x){ return 1 + ((((x) <= -7))?(3):(((((x) <= -3.0))?(1.265625*Math.pow(-1 - 0.333333333333333*x, 3) + 0.5625*Math.pow(-1 - 0.333333333333333*x, 2)*(15.75 + 2.25*x) - 24.5*Math.pow(1 + 0.142857142857143*x, 2)*(-0.75 - 0.25*x)):(((((x) <= 7.0))?(-0.054*Math.pow(1 + 0.333333333333333*x, 3) + 0.49*Math.pow(1 - 0.142857142857143*x, 2)*(6.0 + 2.0*x) - 0.54*Math.pow(1 + 0.333333333333333*x, 2)*(0.7 - 0.1*x)):(-2))))));}", [-5, 5]]]}
f(x):
{"init": {"range": [[-5, 5], [-9, 9]], "scale": [30.0, 11.11111111111111], "hasGraph": true, "axisArrows": "->", "axisOpacity": 0.5, "gridOpacity": 0.1, "gridStep": [1, 2.25], "tickStep": [1, 1], "labelStep": [1, 100], "xLabel": "", "yLabel": "", "unityLabels": true}, "plot": [["function(x){ return 15.6666666666667 + ((((x) <= -7))?(3*x):(((((x) <= -3.0))?(9.82552083333331 + 0.0546875*Math.pow(x, 4) + 8.640625*Math.pow(x, 2) + 25.96875*x + 1.17708333333333*Math.pow(x, 3)):(((((x) <= 7.0))?(-12.3206666666667 + 2.508*x + 0.006*Math.pow(x, 4) - 0.0560000000000002*Math.pow(x, 2) - 0.0813333333333333*Math.pow(x, 3)):(2.99999999999998 - 2*x))))));}", [-5, 5]]]}
- C.f'(x):
{"init": {"range": [[-5, 5], [-3, 3]], "scale": [30.0, 33.333333333333336], "hasGraph": true, "axisArrows": "->", "axisOpacity": 0.5, "gridOpacity": 0.1, "gridStep": [1, 1], "tickStep": [1, 1], "labelStep": [1, 100], "xLabel": "", "yLabel": "", "unityLabels": true}, "plot": [["function(x){ return ((((x) <= -7))?(-3):(((((x) <= 0.0))?(0.00874635568513119*Math.pow(x, 3) + 1.0*x*Math.pow(1.0 + 0.142857142857143*x, 2) + 0.0204081632653061*Math.pow(x, 2)*(-9.0 - 1.28571428571429*x)):(((((x) <= 7.0))?(0.00291545189504373*Math.pow(x, 3) + 0.0612244897959184*Math.pow(x, 2)*(1 - 0.142857142857143*x) + 1.0*x*Math.pow(1 - 0.142857142857143*x, 2)):(1))))));}", [-5, 5]]]}
f(x):
{"init": {"range": [[-5, 5], [-10, 10]], "scale": [30.0, 10.0], "hasGraph": true, "axisArrows": "->", "axisOpacity": 0.5, "gridOpacity": 0.1, "gridStep": [1, 2.5], "tickStep": [1, 1], "labelStep": [1, 100], "xLabel": "", "yLabel": "", "unityLabels": true}, "plot": [["function(x){ return -5.41666666666667 + ((((x) <= -7))?(-3*x):(((((x) <= 0.0))?(6.41666666666667 + 0.0340136054421769*Math.pow(x, 3) + 0.000728862973760932*Math.pow(x, 4) + 0.5*Math.pow(x, 2)):(((((x) <= 7.0))?(6.41666666666667 + 0.00364431486880466*Math.pow(x, 4) + 0.5*Math.pow(x, 2) - 0.0748299319727891*Math.pow(x, 3)):(7.0 + x))))));}", [-5, 5]]]}
- D.f'(x):
{"init": {"range": [[-5, 5], [-5, 5]], "scale": [30.0, 20.0], "hasGraph": true, "axisArrows": "->", "axisOpacity": 0.5, "gridOpacity": 0.1, "gridStep": [1, 1.25], "tickStep": [1, 1], "labelStep": [1, 100], "xLabel": "", "yLabel": "", "unityLabels": true}, "plot": [["function(x){ return ((((x) <= -7))?(-1):(((((x) <= -2.0))?(-0.0640000000000001*Math.pow(-1 - 0.5*x, 3) + 0.16*Math.pow(-1 - 0.5*x, 2)*(-4.2 - 0.6*x) - 29.4*Math.pow(1 + 0.142857142857143*x, 2)*(-0.4 - 0.2*x)):(((((x) <= 7.0))?(0.0329218106995885*Math.pow(1 + 0.5*x, 3) + 0.604938271604938*Math.pow(1 - 0.142857142857143*x, 2)*(6.0 + 3.0*x) + 0.444444444444444*Math.pow(1 + 0.5*x, 2)*(0.777777777777778 - 0.111111111111111*x)):(3))))));}", [-5, 5]]]}
f(x):
{"init": {"range": [[-5, 5], [-23, 23]], "scale": [30.0, 4.3478260869565215], "hasGraph": true, "axisArrows": "->", "axisOpacity": 0.5, "gridOpacity": 0.1, "gridStep": [1, 5.75], "tickStep": [1, 1], "labelStep": [1, 100], "xLabel": "", "yLabel": "", "unityLabels": true}, "plot": [["function(x){ return 0.749999999999986 + ((((x) <= -7))?(-x):(((((x) <= -2.0))?(7.54600000000002 + 0.026*Math.pow(x, 4) + 4.284*Math.pow(x, 2) + 0.568*Math.pow(x, 3) + 11.152*x):(((((x) <= 7.0))?(2.88374485596709 + 0.00720164609053498*Math.pow(x, 4) + 0.561728395061728*Math.pow(x, 2) + 4.0082304526749*x - 0.127572016460905*Math.pow(x, 3)):(11.0 + 3*x))))));}", [-5, 5]]]}
Exercice 5 : Étude détaillée d'un polynôme de degré 3 (version simplifiée)
Soit \(f\) une fonction définie pour tout nombre réel \(x\) de l'intervalle
\(\left[2; 10\right]\) par :
\[f: x \mapsto -3x^{3} + 54x^{2} -324x + 48\]
On notera \(f'\) la fonction dérivée de la fonction \(f\).Déterminer pour tout \(x\) appartenant à l'intervalle \(\left[2; 10\right]\),
l'expression de \(f'(x)\).
Parmi les expressions ci-dessous, laquelle correspond à \(f'(x)\) pour
tout \(x\) de l'intervalle \(\left[2; 10\right]\) ?
Étudier le signe de \(f'\) pour tout \(x\) appartenant à l'intervalle
\(\left[2; 10\right]\).
En déduire le tableau de variations de la fonction \(f\) sur l'intervalle
\(\left[2; 10\right]\).