En chemin pour les maths complémentaires - Enseignement scientifique
La fonction exponentielle e
Exercice 1 : Etude de fonctions x*exp(ax+b) (avec a,b appartenant à Z \ {0})
Soit la fonction \(f\) définie ci-dessous :
\[ f: x \mapsto xe^{-8x -2} \]Déterminer la dérivée de \(f\).
Donner l'ensemble des solutions de \(f'(x) \lt 0\).
Compléter le tableau de variation de \(f\).
Exercice 2 : Equation trinôme (changement de variable: X = exp(x) pas besoin de log)
Déterminer l'ensemble des solutions dans \( \mathbb{R} \) de :
\[ e^{2x} + 2e^{x} + 1 = 0 \]
On donnera la réponse sous la forme d'un ensemble, par exemple \( \{1; 3\} \) ou \( [2; 4[ \).
On donnera la réponse sous la forme d'un ensemble, par exemple \( \{1; 3\} \) ou \( [2; 4[ \).
Exercice 3 : Dérivées forme u/v (exponentielle) : exp(ax+b)/(cx+d) (avec coefficients appartenant à Z*)
Soit la fonction \(f\) définie ci-dessous :
\[ f: x \mapsto \dfrac{e^{7x -7}}{-6x + 8} \]Déterminer la dérivée de \(f\).
On admettra qu'elle est dérivable sur chaque intervalle contenu dans son domaine de définition \( D \) = \(\mathbb{R} \setminus \{\dfrac{4}{3}\}\).
On admettra qu'elle est dérivable sur chaque intervalle contenu dans son domaine de définition \( D \) = \(\mathbb{R} \setminus \{\dfrac{4}{3}\}\).
Exercice 4 : exp(ax + b) = exp(±x)
Déterminer l'ensemble des solutions dans \( \mathbb{R} \) de :
\[ e^{-5x -1} = e^{x} \]
On donnera la réponse sous la forme d'un ensemble, par exemple \( \{1; 3\} \) ou \( [2; 4[ \).
On donnera la réponse sous la forme d'un ensemble, par exemple \( \{1; 3\} \) ou \( [2; 4[ \).
Exercice 5 : Simplification d'une expression
Effectuer le calcul suivant :
\[ \left(e^{2x}\right)^{-4}\left(e^{-3x}\right)^{-3} \]
On donnera la réponse sous la forme la plus simple possible.